Zoezi la thermodynamiki lililofanyiwa kazi

Upanuzi wa isentropiki na ujenzi upya wa uhusiano wa msingi

Zoezi 38 · Somo 7 — Muundo wa Kihisabati: Uhusiano wa Msingi

uhusiano wa msingi
upanuzi wa isentropiki
milinganyo ya hali
uwakilishi wa entropy
sharti la kuweza kukokotoa integrali
viwango kwa moli

Swali

Sehemu A. Mfumo unaelezwa na uhusiano wa msingi kwa moli

u = \frac{A}{v} e^{s / (3 R)},

ambapo $u$ , $v$ na $s$ ni nishati ya ndani, ujazo na entropy kwa moli, $A > 0$ ni thabiti na $R$ ni thabiti ya gesi bora. Hali ya awali inabainishwa na halijoto $T_{0}$ na shinikizo $P_{0}$ .

Andika $T$ na $P$ kwa kutumia $u$ na $v$ . Hitimisha mlinganyo wa hali unaohusisha $P$ , $v$ na $T$ .
Mfumo unapitishwa katika upanuzi wa isentropiki hadi shinikizo lake ligawanywe kwa nane. Andika halijoto ya mwisho kwa kutumia $T_{0}$ pekee.

Sehemu B. Mfumo mwingine, wenye kiasi cha maada kilichowekwa, hutii milinganyo miwili ya hali

U = 2 P V, P = B T^{3},

ambapo $B > 0$ ni thabiti.

Andika $1/ T$ na $P / T$ kwa kutumia $U$ na $V$ .
Uhusiano wa msingi $S (U, V)$ unaweza kuwepo tu ikiwa vitofautishi mseto ni sawa: $\partial (1/ T) / \partial V = \partial (P / T) / \partial U$ . Thibitisha sharti hili.
Bainisha uhusiano wa msingi $S (U, V)$ hadi thabiti moja. Thibitisha kwamba unatoa tena milinganyo miwili ya hali, kisha kwamba unategemea ukubwa.

Kidokezo

Sehemu A:

T = (\partial u / \partial s)_{v}

P = - (\partial u / \partial v)_{s}

; kando ya isentropiki,

s

imewekwa na kila kitu huandikwa kwa kutumia

v

. Sehemu B:

d S = (1/ T) d U + (P / T) d V

. Kwanza kokotoa integrali ya

(\partial S / \partial U)_{V} = 1/ T

kwa

V

iliyowekwa, ukiongeza funksioni

f (V)

, kisha bainisha

f

kwa kutumia

(\partial S / \partial V)_{U} = P / T

Jibu la kina

Suluhisho

Swali 1. Kwa

v

iliyowekwa, kitofautishi cha

e^{s / (3 R)}

kuhusiana na

s

e^{s / (3 R)} / (3 R)

, kwa hiyo

T = (\frac{\partial u}{\partial s})_{v} = \frac{A}{v} \frac{e ^{s / (3 R)}}{3 R} = \frac{u}{3 R} .

Kwa $s$ iliyowekwa, kitofautishi cha $v^{- 1/2}$ ni $- \frac{1}{2} v^{- 3/2}$ , kwa hiyo

P = - (\frac{\partial u}{\partial v})_{s} = \frac{1}{2} A v^{- 3/2} e^{s / (3 R)} = \frac{u}{2 v} .

Uhusiano wa kwanza unatoa $u = 3 R T$ . Tukiuweka katika wa pili,

P = \frac{3 R T}{2 v}, yaani P v = \frac{3}{2} R T .

Swali 2. Kando ya isentropiki, $s$ ni thabiti, kwa hiyo $u = A e^{s / (3 R)} v^{- 1/2}$ inalingana na $v^{- 1/2}$ . Inafuata kwamba

T = \frac{u}{3 R} \propto v^{- 1/2}, P = \frac{u}{2 v} \propto v^{- 3/2} .

Kugawanya shinikizo kwa nane kunalazimisha

(\frac{v _{f}}{v _{0}})^{- 3/2} = \frac{1}{8} ⟹ (\frac{v _{f}}{v _{0}})^{3/2} = 8 ⟹ \frac{v _{f}}{v _{0}} = 8^{2/3} = 4.

Kwa kuwa halijoto inalingana na $v^{- 1/2}$ ,

T_{f} = T_{0} (\frac{v _{f}}{v _{0}})^{- 1/2} = \frac{T _{0}}{4} = \frac{T _{0}}{2} .

Swali 3. Milinganyo miwili ya hali inatoa $U = 2 P V = 2 B V T^{3}$ , kwa hiyo

T = (\frac{U}{2 B V})^{1/3}, \frac{1}{T} = (\frac{2 B V}{U})^{1/3} = (2 B)^{1/3} V^{1/3} U^{- 1/3} .

Aidha $P / T = B T^{2}$ , na tukiweka badala ya $T$ ,

\frac{P}{T} = B (\frac{U}{2 B V})^{2/3} = \frac{B ^{1/3}}{2 ^{2/3}} U^{2/3} V^{- 2/3} .

Swali 4. Tutofautishe $1/ T$ kuhusiana na $V$ , kwa $U$ iliyowekwa:

\frac{\partial}{\partial V} (\frac{1}{T}) = \frac{1}{3} (2 B)^{1/3} V^{- 2/3} U^{- 1/3} .

Tutofautishe $P / T$ kuhusiana na $U$ , kwa $V$ iliyowekwa:

\frac{\partial}{\partial U} (\frac{P}{T}) = \frac{2}{3} \frac{B ^{1/3}}{2 ^{2/3}} U^{- 1/3} V^{- 2/3} .

Kwa kuwa $(2 B)^{1/3} = 2 \cdot 2^{- 2/3} B^{1/3}$ , tokeo la kwanza linaweza pia kuandikwa $\frac{2}{3} 2^{- 2/3} B^{1/3} V^{- 2/3} U^{- 1/3}$ : vitofautishi viwili mseto ni sawa. Kwa hiyo umbo $(1/ T) d U + (P / T) d V$ linaweza kuwa diferenshali ya funksioni $S (U, V)$ . Milinganyo miwili ya hali iliyochaguliwa kiholela kwa ujumla haitimizi sharti hili.

Swali 5. Kwa

V

iliyowekwa, tukokotoe integrali ya

1/ T

kuhusiana na

U

. Kinyambuo-kinyume kimoja cha

U^{- 1/3}

\frac{3}{2} U^{2/3}

, kwa hiyo

S (U, V) = \frac{3}{2} (2 B)^{1/3} V^{1/3} U^{2/3} + f (V),

ambapo $f$ ni funksioni ya $V$ pekee. Tutofautishe kuhusiana na $V$ :

(\frac{\partial S}{\partial V})_{U} = \frac{3}{2} (2 B)^{1/3} \cdot \frac{1}{3} V^{- 2/3} U^{2/3} + f^{'} (V) = \frac{1}{2} (2 B)^{1/3} U^{2/3} V^{- 2/3} + f^{'} (V) .

Lakini $\frac{1}{2} (2 B)^{1/3} = 2^{- 2/3} B^{1/3}$ : neno la kwanza ni $P / T$ hasa. Kwa hiyo lazima $f^{'} (V) = 0$ , yaani $f$ ni thabiti, na

S (U, V) = \frac{3}{2} (2 B V U^{2})^{1/3} + const .

Kinyume chake, vitofautishi vya funksioni hii vinatoa tena $1/ T$ na $P / T$ za swali la 3, kwa hiyo milinganyo miwili ya hali ya mwanzo. Hatimaye, tukizidisha $U$ na $V$ kwa $λ$ , zao $V U^{2}$ huzidishwa kwa $λ^{3}$ na kipeuo chake cha tatu kwa $λ$ : isipokuwa thabiti ya kujumlisha, $S$ ni homojeni ya daraja la kwanza, kwa hiyo inategemea ukubwa.