Zoezi la thermodynamiki lililofanyiwa kazi

Gesi ya fotoni katika Ulimwengu

Zoezi 39 · Somo 7 — Muundo wa Kihisabati: Uhusiano wa Msingi

gesi ya fotoni
mnururisho
mnururisho wa mandharinyuma wa anga
uhusiano wa msingi
upanuzi wa adiabati
funksioni homojeni
potenshali ya kikemia sifuri

Swali

Katika nyakati za kwanza za Ulimwengu, maada ni plasma moto ya viini, elektroni na fotoni. Karibu na $T_{i} \approx 3000 K$ , atomu za kwanza huundwa na fotoni huwa huru. Tunachukulia kwamba wakati huo gesi ya fotoni iko katika usawa kwenye halijoto $T_{i}$ , kisha hupitia upanuzi wa adiabati rejeshi kadiri Ulimwengu unavyopanuka. Tunakubali uhusiano wake wa msingi

S (U, V) = \frac{4}{3} a V^{1/4} U^{3/4},

ambapo $a$ ni thabiti chanya yenye vipimo. Entropy haitegemei idadi $N$ ya fotoni: idadi hii haihifadhiwi.

Kumbusha fasili ya funksioni homojeni ya daraja la kwanza na uonyeshe kwamba $S$ ni mojawapo.
Chora umbo la $S$ kama funksioni ya $U$ kwa $V$ iliyowekwa. Je, funksioni hii ni bonyeo? Toa maoni.
Bainisha $T$ , $P$ na $μ$ kutokana na vitofautishi vya $S$ . Hasa, onyesha kwamba $U = a^{4} V T^{4}$ na kwamba $P = U / (3 V)$ , kisha toa maoni kuhusu thamani ya $μ$ .
Andika kanuni ya kwanza kwa gesi hii na uitumie kwa upanuzi wa adiabati rejeshi. Hitimisha uhusiano kati ya $U$ na $V$ kando ya badiliko hili.
Hitimisha kwamba $V T^{3}$ hubaki thabiti kando ya upanuzi.
Pata tena tokeo hili moja kwa moja, kutokana na entropy iliyoandikwa kwa kutumia $T$ na $V$ .
Leo gesi ya fotoni inaonekana kwenye $T_{f} \approx 3 K$ : huu ndio mnururisho wa mandharinyuma wa anga. Ujazo wa Ulimwengu umezidishwa kwa kigezo gani tangu utoaji huo?

Kidokezo

Katika uwakilishi wa entropy,

1/ T = (\partial S / \partial U)_{V}

P / T = (\partial S / \partial V)_{U}

μ / T = - (\partial S / \partial N)_{U, V}

. Kwa swali la 4, badiliko la adiabati rejeshi linatimiza

d S = 0

, kwa hiyo

d U = - P d V

: tenganisha vigezo.

Jibu la kina

Suluhisho

Swali 1. Funksioni

f

ya vigezo kadhaa ni homojeni ya daraja la kwanza ikiwa

f (λ x, λ y) = λ f (x, y)

kwa kila

λ > 0

. Hapa,

S (λ U, λV) = \frac{4}{3} a (λV)^{1/4} (λ U)^{3/4} = \frac{4}{3} a λ^{1/4 + 3/4} V^{1/4} U^{3/4} = λ S (U, V) .

Kwa hiyo entropy ya gesi ya fotoni inategemea ukubwa.

Swali 2. Kwa

V

iliyowekwa,

S

inalingana na

U^{3/4}

. Kitofautishi chake cha kwanza,

(\frac{\partial S}{\partial U})_{V} = a V^{1/4} U^{- 1/4} > 0,

ni chanya: $S$ huongezeka pamoja na $U$ , na halijoto ni chanya. Kitofautishi chake cha pili,

(\frac{\partial ^{2} S}{\partial U ^{2}})_{V} = - \frac{a}{4} V^{1/4} U^{- 5/4} < 0,

ni hasi: $S$ ni bonyeo katika $U$ . Mkunjo huanzia kwenye asili ukiwa na tanjenti wima, kisha hupinda huku ukibaki juu ya kodi zake. Ubonyeo huu huonyesha uthabiti wa usawa wa gesi ya fotoni.

Swali 3. Kutokana na swali la 2,

\frac{1}{T} = a (\frac{V}{U})^{1/4} ⟹ (\frac{U}{V})^{1/4} = a T ⟹ U = a^{4} V T^{4} .

Kitofautishi kuhusiana na $V$ , kwa $U$ iliyowekwa, ni

\frac{P}{T} = (\frac{\partial S}{\partial V})_{U} = \frac{4}{3} a \cdot \frac{1}{4} V^{- 3/4} U^{3/4} = \frac{a}{3} (\frac{U}{V})^{3/4} .

Lakini $(U / V)^{3/4} = ((U / V)^{1/4})^{3} = a^{3} T^{3}$ , kwa hiyo

P = T \cdot \frac{a}{3} \cdot a^{3} T^{3} = \frac{a ^{4} T ^{4}}{3} = \frac{U}{3 V} .

Hatimaye, $S$ haitegemei $N$ , kwa hiyo $μ = - T (\partial S / \partial N)_{U, V} = 0$ . Potenshali ya kikemia ya fotoni ni sifuri: kwa kuwa idadi yao haihifadhiwi, hujirekebisha kwa uhuru katika usawa, na kuongeza fotoni moja hakugharimu chochote.

Swali 4. Kwa kuwa neno

μ d N

ni sifuri, uhusiano wa msingi wa kidiferenshali huandikwa

d U = T d S - P d V

. Kwa upanuzi wa adiabati rejeshi,

d S = 0

, kwa hiyo, pamoja na

P = U / (3 V)

d U = - P d V = - \frac{U}{3 V} d V ⟹ \frac{d U}{U} = - \frac{1}{3} \frac{d V}{V} .

Tukikokotoa integrali kati ya hali ya awali na hali yoyote ya upanuzi, $ln (U / U_{i}) = - \frac{1}{3} ln (V / V_{i})$ , yaani

U V^{1/3} = const .

Swali 5. Tubadilishe $U$ kwa $a^{4} V T^{4}$ :

a^{4} V T^{4} \cdot V^{1/3} = a^{4} V^{4/3} T^{4} = const .

Kwa kuwa $a$ ni thabiti, $V^{4/3} T^{4} = (V^{1/3} T)^{4}$ ni thabiti, kwa hiyo $V^{1/3} T$ pia ni thabiti; tukipandisha kwa kipeo cha tatu, $V T^{3} = const$ .

Swali 6. Tuandike

S

kwa kutumia

T

V

kwa kubadilisha

U

kwa

a^{4} V T^{4}

S = \frac{4}{3} a V^{1/4} (a^{4} V T^{4})^{3/4} = \frac{4}{3} a V^{1/4} a^{3} V^{3/4} T^{3} = \frac{4}{3} a^{4} V T^{3} .

Upanuzi wa adiabati rejeshi ni wa isentropiki: $S$ ni thabiti, kwa hiyo $V T^{3}$ pia. Tunapata tena moja kwa moja tokeo la swali la 5.

Swali 7. Kwa kuwa

V T^{3}

huhifadhiwa,

\frac{V _{f}}{V _{i}} = (\frac{T _{i}}{T _{f}})^{3} = (\frac{3000}{3})^{3} = (1 0^{3})^{3} = 1 0^{9} .

Ujazo wa Ulimwengu umezidishwa kwa bilioni moja tangu utoaji, jambo linalolingana na kigezo cha $1 0^{3}$ kwa umbali. Mnururisho uliotolewa kwenye takriban $3000 K$ , uliopozwa na upanuzi, ndio mnururisho wa mandharinyuma wa anga unaopimwa leo kwenye $2, 7 K$ .