Zoezi la thermodynamiki lililofanyiwa kazi

Uhamisho, mzunguko na msukosuko wa joto

Zoezi 14 · Somo 4 — Kanuni ya Kwanza ya Thermodynamiki

teorema ya König
mzunguko
nishati ya kinetiki
nishati ya ndani
msuguano

Swali

Mfumo wa chembe $N$ zenye masi $m_{i}$ una masi jumla $M$ , na kitovu cha masi chenye nafasi $R$ na kasi $V$ . Tunaandika $ρ_{i} = r_{i} - R$ na kutenganisha kasi:

v_{i} = V + ω \times ρ_{i} + u_{i}^{'} .

Kasi angulari ya jumla $ω$ huchaguliwa kwa namna ambayo mwendo unaobaki hauna momenti ya angulari ya jumla:

i \sum m_{i} u_{i}^{'} = 0, i \sum m_{i} ρ_{i} \times u_{i}^{'} = 0 .

Tunakubali utambulisho $\sum_{i} m_{i} ∣ ω \times ρ_{i} ∣^{2} = ω \cdot I_{CM} ω$ , ambapo $I_{CM}$ ni tensor ya inershia kuhusiana na kitovu cha masi.

Fungua $E_{kin} = \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2}$ na uonyeshe kwamba sehemu tatu mtambuko ni sifuri. Hitimisha mtengano kati ya uhamisho, mzunguko wa jumla na mwendo unaobaki.
Katika kaida ambayo uhamisho na mzunguko wa jumla huhesabiwa kama miondoko ya kimakroskopiki, ni nishati gani ya kinetiki inayoingia katika nishati ya ndani? Je, inatosha kujiweka katika fremu ya kitovu cha masi ili kubaki na msukosuko wa joto pekee?
Diski ya namna moja yenye masi $M$ na nusukipenyo $R$ , ambayo mhimili wake umewekwa thabiti, mwanzoni huzunguka kwa kasi angulari $ω_{0}$ . Momenti yake ya inershia ni $I = M R^{2} /2$ . Breki huisimamisha. Mfumo wa diski na breki umetengwa kijoto; viegemeo vyake visivyosogea havitoi kazi yoyote. Nishati yote iliyotawanywa hubaki katika mfumo huu, wenye uwezo wa jumla wa joto ulio thabiti $C$ . Pata badiliko la nishati yake ya ndani na ongezeko la halijoto yake.
Kokotoa nishati iliyogeuzwa na ongezeko la halijoto kwa $M = 2, 0 kg$ , $R = 0, 10 m$ , $ω_{0} = 100 rad s^{- 1}$ na $C = 500 J K^{- 1}$ . Je, nishati hii imevuka mpaka wa mfumo kama joto?

Kidokezo

Tumia

\sum_{i} m_{i} ρ_{i} = 0

na utambulisho wa zao mchanganyiko

(ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} = ω \cdot (ρ_{i} \times u_{i}^{'})

. Wakati wa kufunga breki, hifadhi

U + E_{kin}^{macro}

Jibu la kina

Suluhisho

Swali la 1. Fasili ya kitovu cha masi inatoa

\sum_{i} m_{i} r_{i} = M R

. Kwa hiyo,

i \sum m_{i} ρ_{i} = i \sum m_{i} r_{i} - M R = 0 .

Tukifungua kila mraba,

E_{kin} = \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} i \sum m_{i} ∣ ω \times ρ_{i} ∣^{2} + \frac{1}{2} i \sum m_{i} u_{i}^{'}^{2} + V \cdot (ω \times i \sum m_{i} ρ_{i}) + V \cdot i \sum m_{i} u_{i}^{'} + i \sum m_{i} (ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} .

Sehemu mtambuko ya kwanza hutoweka kwa fasili ya kitovu cha masi. Ya pili hutoweka kwa sababu momentamu inayobaki ni sifuri. Kwa ya tatu, zao mchanganyiko linatoa

i \sum m_{i} (ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} = ω \cdot i \sum m_{i} (ρ_{i} \times u_{i}^{'}) = 0.

Kwa utambulisho uliotolewa wa tensor ya inershia, kinachobaki ni

E_{kin} = \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} ω \cdot I_{CM} ω + \frac{1}{2} i \sum m_{i} u_{i}^{'}^{2}

Swali la 2. Katika kaida hii, mchango wa kinetiki kwa nishati ya ndani ni sehemu ya mwisho, $\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} u_{i}^{'}^{2}$ . Nishati ya ndani pia hujumuisha nishati za potenshali za ndani na viwango vingine vya ndani vya uhuru, ikiwa vipo. Kujiweka katika fremu ya kitovu cha masi huondoa sehemu ya uhamisho, lakini huacha sehemu ya mzunguko wa jumla. Hivyo diski inayozunguka kuzunguka mhimili uliowekwa thabiti ina nishati ya kinetiki ya kimakroskopiki hata kama kitovu chake cha masi hakisogei.

Swali la 3. Joto na kazi vinavyovuka mpaka wa mfumo wa diski na breki ni sifuri. Nguvu za viegemeo zinaweza kuhamisha momenti ya angulari, lakini nukta zake za utendaji zisizosogea hazihamishi kazi. Tukipuuza badiliko lingine lolote la nishati ya kimakroskopiki, uhifadhi unatoa

Δ U + Δ E_{rotation} = 0.

Diski husimama, hivyo $Δ E_{rotation} = 0 - \frac{1}{2} I ω_{0}^{2}$ . Kwa hiyo,

Δ U = \frac{1}{2} I ω_{0}^{2} = \frac{1}{4} M R^{2} ω_{0}^{2} > 0.

Usawa wa ndani wa joto ukishafikiwa, kielelezo cha uwezo thabiti wa joto kinatoa $Δ U = C (T_{f} - T_{i})$ , yaani

T_{f} - T_{i} = \frac{M R ^{2} ω _{0}^{2}}{4 C} .

Msuguano hugeuza nishati ya mwendo uliopangwa kuwa nishati ya ndani ndani ya mfumo wenyewe.

Swali la 4. Momenti ya inershia ni

I = 2, 0 (0, 10)^{2} /2 = 0, 010 kg m^{2}

. Tunapata

Δ U = \frac{1}{2} (0, 010) (100)^{2} = 50 J, T_{f} - T_{i} = \frac{50}{500} = 0, 10 K .

Mfumo hupata joto ingawa $Q = 0$ : nishati hii haikuvuka mpaka wake kama joto. Mwanzoni ilikuwepo kama nishati ya kinetiki ya mzunguko.