Zoezi la thermodynamiki lililofanyiwa kazi

Kujenga tufe la uvutano lenye msongamano sawa

Zoezi 15 · Somo 4 — Kanuni ya Kwanza ya Thermodynamiki

uvutano
nishati ya mwingiliano
tufe lenye msongamano sawa
utegemezi kwa ukubwa
masafa marefu

Swali

Tufe lenye nusukipenyo $R$ lina masi $M$ iliyosambazwa kwa usawa, yenye msongamano $ρ_{m}$ . Tunataka kukokotoa nishati yake ya potenshali ya uvutano $U_{grav}$ , ikiwa na sifuri wakati vipande vyake vya masi viko mbali sana kwa umbali usio na kikomo.

Tunafikiria kujenga tufe kwa matabaka yenye kitovu kimoja, tukidumisha msongamano uleule. Katika hatua ambapo nusukipenyo kinafikia $r$ , masi iliyokwisha kukusanywa ni $M (r)$ , na tunaleta kutoka umbali usio na kikomo ganda lenye masi $d M$ . Tunakubali kwamba potenshali inayosababishwa kwenye uso wake na masi ya ndani ni $- GM (r) / r$ . Hesabu inahusu nishati ya uvutano pekee; hatudhanii usawa wowote wa kimekanika wa tufe.

Chora tufe lililokwisha kujengwa na ganda linaloongezwa kati ya $r$ na $r + d r$ . Andika $ρ_{m}$ , $M (r)$ na $d M$ kwa kutumia $M, R, r$ na $d r$ .
Andika nishati ya mwingiliano wa ganda na tufe la ndani, kisha kokotoa integrali ili kupata $U_{grav}$ . Je, tokeo linapaswa kugawanywa kwa mbili?
Tufe lina viambajengo $N$ vyenye masi $m$ , ambapo $M = N m$ . Kwa msongamano $ρ_{m}$ uliowekwa, andika $R$ kwa kutumia $N$ , kisha bainisha jinsi $U_{grav}$ na $U_{grav} / N$ zinavyotegemea $N$ .
Linganisha nishati ya tufe lenye viambajengo $2 N$ na jumla ya nishati za matufe mawili yenye viambajengo $N$ kila moja, yaliyo mbali sana kwa umbali usio na kikomo, yote yakiwa na msongamano uleule. Toa maoni kuhusu ishara ya tofauti na kuhusu utegemezi kwa ukubwa.

Kidokezo

Ganda lina ujazo

4 π r^{2} d r

. Nishati yake ya mwingiliano na masi iliyokwisha kuwekwa ni

d U_{grav} = - GM (r) d M / r

. Katika kuhesabu, kila jozi hukutwa wakati sehemu yake ya nje inapoongezwa.

Jibu la kina

Suluhisho

Swali la 1. Mchoro unaonyesha mpira wenye nusukipenyo

r

na masi

M (r)

, uliozungukwa na tabaka lenye unene

d r

; nusukipenyo cha mwisho

R

kimeonyeshwa. Usawa wa msongamano unatoa

ρ_{m} = \frac{M}{4 π R ^{3} /3} = \frac{3 M}{4 π R ^{3}}, M (r) = ρ_{m} \frac{4 π r ^{3}}{3} = M \frac{r ^{3}}{R ^{3}} .

Kwa hiyo masi inayoongezwa ni

d M = 4 π ρ_{m} r^{2} d r = \frac{3 M}{R ^{3}} r^{2} d r .

Swali la 2. Potenshali ya uvutano ni nishati kwa kila kipimo cha masi. Tukiizidisha kwa masi inayoletwa, tunapata

d U_{grav} = - \frac{GM ( r )}{r} d M = - \frac{G}{r} \frac{M r ^{3}}{R ^{3}} \frac{3 M r ^{2}}{R ^{3}} d r = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} r^{4} d r .

Integrali inachukuliwa juu ya nusukipenyo zote za ujenzi:

U_{grav} = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} \int_{0}^{R} r^{4} d r = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} [\frac{r ^{5}}{5}]_{0}^{R} = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} \frac{R ^{5}}{5} = - \frac{3 G M ^{2}}{5 R} .

Kila mwingiliano kati ya tabaka jipya na tabaka la ndani huhesabiwa mara moja tu. Kwa hiyo hatupaswi kuongeza kigawo $1/2$ . Nishati-binafsi ya ganda dogo mno ni ya kiwango $(d M)^{2}$ na haichangii integrali katika kikomo endelevu. Ishara hasi huonyesha tabia ya kuvutana ya uvutano; kutenganisha masi kunahitaji kutoa nishati. Hatimaye, $G M^{2} / R$ kweli ina kipimo cha jouli.

Swali la 3. Kwa msongamano uliowekwa,

\frac{4 π R ^{3}}{3} = \frac{N m}{ρ _{m}}, R = (\frac{3 m}{4 π ρ _{m}})^{1/3} N^{1/3} .

Tukiweka $M$ na $R$ katika nishati,

U_{grav} = - \frac{3}{5} G m^{2} (\frac{4 π ρ _{m}}{3 m})^{1/3} \frac{N ^{2}}{N ^{1/3}} = - a_{g} N^{5/3},

ambapo $a_{g} = \frac{3}{5} G m^{2} (4 π ρ_{m} / (3 m))^{1/3} > 0$ haitegemei $N$ . Kwa hiyo nishati kwa kila kiambajengo ni $U_{grav} / N = - a_{g} N^{2/3}$ . Thamani yake halisi huongezeka pamoja na ukubwa wa mfumo: haibaki isiyotegemea ukubwa.

Swali la 4. Tufe kubwa lina nishati

U_{grav} (2 N) = - a_{g} 2^{5/3} N^{5/3}

. Kwa matufe mawili yaliyo mbali sana, mwingiliano wao wa pande zote ni sifuri na jumla ni

2 U_{grav} (N) = - 2 a_{g} N^{5/3}

. Tofauti ni

U_{grav} (2 N) - 2 U_{grav} (N) = - a_{g} (2^{5/3} - 2) N^{5/3} < 0.

Tufe kubwa limefungamana zaidi kwa uvutano. Ulinganisho huu wa hali pekee hauelezi mienendo ya kuungana kwao. Unaonyesha kwamba $U_{grav} (2 N) \neq = 2 U_{grav} (N)$ : nishati ya uvutano haitegemei ukubwa kwa namna ya kawaida. Uhifadhi wa nishati hauhojiwi; utegemezi kwa ukubwa ni dhana ya ziada inayoshindwa kwa mwingiliano huu wa masafa marefu.