Ufanisi na mgawo wa utendaji: mipaka ya Carnot kupitia kutolingana kwa Clausius

Swali 1. Njia tatu za utendaji hutofautiana kwa mwelekeo halisi wa uhamisho.

• Kama injini, kiowevu hupokea joto kutoka thermostati moto, hutoa joto kwa thermostati baridi na hutoa kazi: $Q_{\mathrm{H}}>0$, $Q_{\mathrm{C}}<0$ na $W<0$.
• Kama jokofu na kama pampu ya joto, kiowevu hupokea kazi, huchukua joto kutoka thermostati baridi na hutoa joto kwa thermostati moto: $W>0$, $Q_{\mathrm{C}}>0$ na $Q_{\mathrm{H}}<0$. Mashine hizi mbili zinafanana; kinachobadilika ni huduma inayotarajiwa tu, yaani kupooza thermostati baridi au kupasha joto thermostati moto.

Katika mzunguko mmoja, kiowevu hurudi katika hali yake ya awali, kwa hiyo nishati yake ya ndani haibadiliki: $\Delta U=0$. Kanuni ya kwanza $\Delta U=Q+W$ inatoa, katika hali zote tatu,

$$Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}+W=0.$$

Swali 2. Kama injini, $W<0$, hivyo $|W|=-W$. Kanuni ya kwanza inatoa $-W=Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}$, kwa hiyo

$$\eta =\frac{-W}{Q_{\mathrm{H}}}=\frac{Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}=1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}.$$

Kama jokofu au pampu ya joto, $W>0$ na kanuni ya kwanza inatoa $W=-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}$. Kwa kuwa $Q_{\mathrm{H}}<0$, tuna $|Q_{\mathrm{H}}|=-Q_{\mathrm{H}}$. Hivyo

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}=\frac{Q_{\mathrm{C}}}{-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}},{\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}=\frac{-Q_{\mathrm{H}}}{-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}}.$$

Kwa kuwa $-Q_{\mathrm{H}}=W+Q_{\mathrm{C}}$,

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}=\frac{W+Q_{\mathrm{C}}}{W}=1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{W}=1+{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}.$$

Kama injini, $Q_{\mathrm{C}}<0$ na $Q_{\mathrm{H}}>0$, hivyo $Q_{\mathrm{C}}/Q_{\mathrm{H}}<0$ na $\eta <1$: kazi inayotolewa haiwezi kuzidi joto linalopokelewa, na kanuni ya kwanza pekee inatosha kulihakikisha hilo. Kinyume chake, mgawo wa utendaji unaweza kuzidi $1$: pampu ya joto haizalishi joto inalotoa, bali inalihamisha kutoka upande baridi hadi upande moto, na kazi inayopokelewa ni sehemu yake tu. Kwa kweli daima tuna ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}>1$, kwa kuwa ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}>0$.

Swali 3. Kiowevu hufuata mzunguko huku kikibadilishana joto na thermostati mbili tu. Kutolingana kwa Clausius huandikwa

$$\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}\le 0,$$

na usawa hupatikana ikiwa na ikiwa tu mzunguko ni rejeshi. Tutenge sehemu ya baridi, kisha tuzidishe kwa $T_{\mathrm{C}}>0$, jambo ambalo halibadilishi mwelekeo wa kutolingana:

$$\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}\le -\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}⟹Q_{\mathrm{C}}\le -Q_{\mathrm{H}}\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

Kama injini, $Q_{\mathrm{H}}>0$: tugawanye kwa $Q_{\mathrm{H}}$, jambo ambalo tena halibadilishi mwelekeo wa kutolingana,

$$\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}\le -\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

Tukiweka hili katika fomula ya swali la 2,

$$\eta =1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}\le 1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

Usawa hufikiwa ikiwa na ikiwa tu kutolingana kwa Clausius ni usawa, yaani kwa mzunguko rejeshi: tunapata tena teorema ya kwanza na ya tatu ya Carnot bila dhana yoyote kuhusu kiowevu cha kazi. Hatimaye, $\eta =1$ ingehitaji $Q_{\mathrm{C}}=0$; kutolingana kwa Clausius basi kungekuwa $Q_{\mathrm{H}}/T_{\mathrm{H}}\le 0$, jambo linalopingana na $Q_{\mathrm{H}}>0$. Hii ndiyo kauli ya Kelvin–Planck: injini lazima itoe joto kwa thermostati baridi.

Swali 4. Safari hii tuanze na kutolingana kwa Clausius kwa kutenga sehemu ya moto, kisha tuzidishe kwa $T_{\mathrm{H}}>0$:

$$\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}\le -\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}⟹Q_{\mathrm{H}}\le -Q_{\mathrm{C}}\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}}⟹-Q_{\mathrm{H}}\ge Q_{\mathrm{C}}\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}},$$

kwa kuwa mwelekeo wa kutolingana hugeuka tunapochukua vinyume vya ishara. Tuongeze $-Q_{\mathrm{C}}$ pande zote mbili na tutumie $W=-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}$:

$$W\ge Q_{\mathrm{C}}\left(\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}}-1\right)=Q_{\mathrm{C}}\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}.$$

Pande zote mbili ni chanya. Tugawanye kwa $W>0$, kisha tuzidishe kwa $T_{\mathrm{C}}/(T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}})>0$:

$$1\ge \frac{Q_{\mathrm{C}}}{W}\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}⟹{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}=\frac{Q_{\mathrm{C}}}{W}\le \frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}.$$

Kwa uhusiano wa swali la 2,

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}=1+{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}\le 1+\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}=\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}+T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}=\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}.$$

Kama kwa injini, mipaka hii hufikiwa tu na mashine rejeshi.

Swali 5. Wakati $T_{\mathrm{C}}\to T_{\mathrm{H}}$, mpaka wa ufanisi $1-T_{\mathrm{C}}/T_{\mathrm{H}}$ huelekea $0$: bila tofauti ya halijoto, hakuna kazi inayoweza kuzalishwa. Kinyume chake, mipaka ya COP mbili, ambazo kigawanyo chake $T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}$ huelekea $0$, huongezeka bila kikomo: katika kikomo rejeshi, kuhamisha joto kati ya miili miwili yenye halijoto ileile hakugharimu kazi yoyote. Wakati $T_{\mathrm{C}}\to 0$, mpaka wa ufanisi huelekea $1$, na ule wa ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}$ huelekea $0$: kuondoa joto kutoka mwili unaozidi kuwa baridi hugharimu kazi inayozidi kuongezeka kwa kila jouli inayoondolewa: kupooza kuelekea sifuri halisi kunazidi kuwa ghali. Swali 6. Kwa jokofu,

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R},\max }=\frac{278}{293-278}=\frac{278}{15}\approx 18,5.$$

Kwa jokofu la kugandisha,

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R},\max }=\frac{255}{293-255}=\frac{255}{38}\approx 6,7.$$

Kazi inayotumika kwa kila jouli ya joto linaloondolewa ni $W/Q_{\mathrm{C}}=1/{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}$. Kwa hiyo uwiano wa matumizi mawili ya chini kabisa ni $18,5/6,7\approx 2,8$: hata likiwa bora, jokofu la kugandisha hutumia kazi karibu mara tatu zaidi ya jokofu ili kuondoa joto lilelile, kwa sababu tofauti ya halijoto inayopaswa kuvukwa ni kubwa zaidi ya mara mbili. Vifaa halisi, visivyo rejeshi, hubaki chini sana ya mipaka hii.