Mzunguko wa Carnot: nishati na entropy katika kila tawi

Swali 1. Mchoro unaonyesha $AB$ na $CD$ kama adiabati, $BC$ katika mkunjo wa halijoto moto thabiti na $DA$ katika ule wa halijoto baridi thabiti. Mzunguko unafuata mwelekeo wa saa. Katika adiabati $AB$, sheria ya Laplace inatoa

$$T_{\mathrm{C}}V_A^{\gamma-1}=T_{\mathrm{H}}V_B^{\gamma-1},\qquad \left(\frac{V_A}{V_B}\right)^{\gamma-1}=\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}}.$$

Kwa kupandisha kwa kipeo $1/(\gamma-1)$ na kuweka $b=(T_{\mathrm{H}}/T_{\mathrm{C}})^{1/(\gamma-1)}$, tunapata $V_A=bV_B$. Vilevile katika $CD$,

$$T_{\mathrm{H}}V_C^{\gamma-1}=T_{\mathrm{C}}V_D^{\gamma-1} \quad\Longrightarrow\quad V_D=bV_C=brV_B.$$

Hivyo $V_D/V_A=(brV_B)/(bV_B)=r$: njia mbili za halijoto thabiti zina uwiano uleule wa ujazo, zikifuatwa katika mielekeo ya kinyume.

Swali 2. Katika kila adiabati rejeshi, $\delta Q_{\mathrm{rev}}=0$ na $\mathrm dS=\delta Q_{\mathrm{rev}}/T=0$:

$$Q_{AB}=Q_{CD}=0,\qquad \Delta S_{AB}=\Delta S_{CD}=0.$$

Katika njia ya halijoto thabiti ya gesi bora, $\mathrm dU=0$, hivyo $\delta Q_{\mathrm{rev}}=P\,\mathrm dV=nRT\,\mathrm dV/V$. Kwa upanuzi katika halijoto moto,

$$\begin{aligned} Q_{BC}&=nRT_{\mathrm{H}}\int_{V_B}^{rV_B}\frac{\mathrm dV}{V} =nRT_{\mathrm{H}}[\ln V]_{V_B}^{rV_B}=nRT_{\mathrm{H}}\ln r>0,\\ \Delta S_{BC}&=\frac{Q_{BC}}{T_{\mathrm{H}}}=nR\ln r. \end{aligned}$$

Kwa mbano katika halijoto baridi, $V_A/V_D=1/r$:

$$\begin{aligned} Q_{DA}&=nRT_{\mathrm{C}}\int_{V_D}^{V_A}\frac{\mathrm dV}{V} =nRT_{\mathrm{C}}[\ln V]_{V_D}^{V_A}\\ &=nRT_{\mathrm{C}}\ln\frac{V_A}{V_D}=-nRT_{\mathrm{C}}\ln r<0,\\ \Delta S_{DA}&=\frac{Q_{DA}}{T_{\mathrm{C}}}=-nR\ln r. \end{aligned}$$

Katika mchoro $(S,T)$, entropy ni thabiti katika $AB$ na $CD$: matawi hayo ni wima. Matawi ya halijoto thabiti $BC$ na $DA$ ni ya mlalo. Kwa kuchagua $S_A$ kama mwanzo wa marejeo, viwianishi ni

$$\begin{aligned} \begin{array}{c|cc} \text{Hali}&S-S_A&T\\ \hline A&0&T_{\mathrm{C}}\\ B&0&T_{\mathrm{H}}\\ C&nR\ln r&T_{\mathrm{H}}\\ D&nR\ln r&T_{\mathrm{C}} \end{array} \end{aligned}$$

Tunapata mstatili unaofuatwa kwa mwelekeo wa saa, wenye upana $nR\ln r$ na urefu $T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}$.

Swali 3. Katika mzunguko mmoja, $\Delta U=0$. Tukihesabu nishati inayopokelewa kuwa chanya, kanuni ya kwanza inatoa

$$W=-(Q_{AB}+Q_{BC}+Q_{CD}+Q_{DA}) =-nR(T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}})\ln r<0.$$

Kazi inayotolewa ni $-W>0$ na joto linalopokelewa kutoka chanzo moto ni $Q_{BC}>0$. Kwa hiyo ufanisi ni

$$\eta=\frac{-W}{Q_{BC}} =\frac{nR(T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}})\ln r}{nRT_{\mathrm{H}}\ln r} =\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}=1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

Kila chanzo hupokea joto lenye ishara ya kinyume na lile inaloipa gesi:

$$\Delta S_{\mathrm{th,H}}=\frac{-Q_{BC}}{T_{\mathrm{H}}}=-nR\ln r,\qquad \Delta S_{\mathrm{th,C}}=\frac{-Q_{DA}}{T_{\mathrm{C}}}=nR\ln r.$$

Gesi hurudia hali yake ya awali, hivyo $\Delta S_{\mathrm{gas}}=0$. Jumla ya mabadiliko matatu ni sifuri: hakuna entropy inayozalishwa. Kazi inayotolewa kwa mazingira haibebi entropy.

Swali 4. Tunahifadhi kanuni ya mabenki kwa mashine: $Q_{\mathrm{H}}>0$ ni joto linalopokelewa kutoka chanzo moto, $Q_{\mathrm{C}}<0$ lile linalopokelewa kutoka chanzo baridi, na $W<0$ kazi inayopokelewa katika mzunguko mmoja. Vyanzo hupokea joto zenye ishara za kinyume, $-Q_{\mathrm{H}}$ na $-Q_{\mathrm{C}}$. Jumla ya badiliko la entropy yake ni entropy inayozalishwa, kwa sababu mashine hurudia hali yake ya awali na mazingira hupokea kazi pekee:

$$S_{\mathrm{i}}=-\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}-\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}.$$

Kwa kuzidisha kwa $T_{\mathrm{C}}$ kisha kutenga $Q_{\mathrm{C}}$,

$$T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}=-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}, \qquad Q_{\mathrm{C}}=-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}Q_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}.$$

Kanuni ya kwanza inatoa $0=Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}+W$. Kazi inayopatikana ni $|W|=-W=Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}$, hivyo

$$\eta=\frac{|W|}{Q_{\mathrm{H}}}=1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}} =1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}-\frac{T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}}{Q_{\mathrm{H}}}.$$

Kwa kuwa $T_{\mathrm{C}}>0$ na $Q_{\mathrm{H}}>0$, uzalishaji chanya wa entropy hupunguza ufanisi.

Swali 5. Joto linalopokelewa kutoka chanzo moto ni lilelile kwa injini zote mbili. Kutokana na swali la 2,

$$Q_{\mathrm{H}}=nRT_{\mathrm{H}}\ln r=1{,}0\times8{,}314\times500\times\ln3{,}4 \simeq5087\ \mathrm J.$$

Ufanisi wa injini rejeshi ni

$$\eta_{\mathrm{Carnot}}=1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}} =1-\frac{300}{500}=0{,}40=40\,\%.$$

Swali la 4 linatoa tofauti kati ya ufanisi hizo mbili:

$$\Delta\eta=\eta_{\mathrm{Carnot}}-\eta_{\mathrm{irr}} =\frac{T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}}{Q_{\mathrm{H}}} \simeq\frac{300\times2{,}0}{5087}=0{,}118.$$

Kiasi cha juu $T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}=600\ \mathrm J$ ni nishati: kwa hiyo uwiano hauna kipimo. Upungufu ni pointi $100\Delta\eta\simeq11{,}8$ za asilimia. Hivyo,

$$\eta_{\mathrm{irr}}=0{,}40-0{,}118\simeq0{,}282=28{,}2\,\%.$$

Ufanisi unatoka $40\,\%$ hadi $28{,}2\,\%$; upungufu wa pointi $11{,}8$ haumaanishi upungufu wa kulinganisha wa $11{,}8\,\%$.