Mbano kwa thermostati moja: rejeshi au wa ghafla

Swali 1. Katika mbano rejeshi, gesi inabaki katika usawa wa joto na thermostati: halijoto yake ni $T_0$ katika mchakato mzima. Shinikizo lake huongezeka hatua kwa hatua kutoka $P_0$ hadi $P_1=xP_0$. Katika hali ya mwisho,

$$P_{f,\mathrm{rev}}=xP_0,\qquad T_{f,\mathrm{rev}}=T_0,\qquad V_{f,\mathrm{rev}}=\frac{nRT_0}{xP_0}=\frac{V_0}{x},$$

ambapo tumetumia mlinganyo wa hali ya awali $nRT_0=P_0V_0$.

Katika mbano wa ghafla, shinikizo la nje linawekwa kuwa $P_1$. Katika usawa wa mwisho wa kimitambo, shinikizo la gesi ni sawa na shinikizo hilo la nje: $P_{f,\mathrm{irr}}=P_1=xP_0$. Usawa wa mwisho wa joto na thermostati unaweka $T_{f,\mathrm{irr}}=T_0$. Mlinganyo wa hali basi unatoa

$$V_{f,\mathrm{irr}}=\frac{nRT_{f,\mathrm{irr}}}{P_{f,\mathrm{irr}}} =\frac{nRT_0}{xP_0}=\frac{V_0}{x}.$$

Kwa hiyo michakato yote miwili inafikia hali ileile ya mwisho $(P_f,T_f,V_f)=(xP_0,T_0,V_0/x)$.

Swali 2. Entropy ni dhima ya hali: badiliko lake linategemea hali za awali na mwisho pekee, ambazo ni zilezile katika majaribio mawili. Kwa gesi bora,

$$\Delta S_{\mathrm{gas}} =nc_V\ln\frac{T_f}{T_0}+nR\ln\frac{V_f}{V_0} =nc_V\ln1+nR\ln\frac1x=-nR\ln x.$$

Hivyo $\Delta S_{\mathrm{gas,rev}}=\Delta S_{\mathrm{gas,irr}}=-nR\ln x<0$. Kupungua huku kwa entropy ya gesi hakutuambii entropy iliyozalishwa: lazima pia tuzingatie ubadilishanaji na thermostati.

Swali 3. Katika mbano rejeshi, $P_{\mathrm{ext}}=P=nRT_0/V$. Kazi inayopokelewa ni

$$\begin{aligned} W_{\mathrm{rev}}&=-\int_{V_0}^{V_0/x}\frac{nRT_0}{V}\,\mathrm dV\\ &=-nRT_0[\ln V]_{V_0}^{V_0/x} =-nRT_0\ln(1/x)=nRT_0\ln x>0. \end{aligned}$$

Gesi hurudia halijoto yake ya awali, hivyo $\Delta U=nc_V(T_0-T_0)=0$. Kanuni ya kwanza $\Delta U=Q+W$ inatoa $Q_{\mathrm{rev}}=-W_{\mathrm{rev}}$. Thermostati hupokea joto lenye ishara ya kinyume katika halijoto $T_0$:

$$\Delta S_{\mathrm{th,rev}}=\frac{-Q_{\mathrm{rev}}}{T_0}=nR\ln x.$$

Entropy inayopokelewa na gesi ni $S_{\mathrm{e},\mathrm{rev}}=Q_{\mathrm{rev}}/T_0=-nR\ln x$, hivyo $S_{\mathrm{i},\mathrm{rev}}=\Delta S_{\mathrm{gas}}-S_{\mathrm{e},\mathrm{rev}}=0$. Thermostati hupokea entropy $S_{\mathrm{e},\mathrm{th}}=-Q_{\mathrm{rev}}/T_0$, sawa na badiliko la entropy yake: nayo haizalishi entropy. Tukijumlisha, $\Delta S_{\mathrm{gas}}+\Delta S_{\mathrm{th,rev}}=0$: entropy inayozalishwa katika mkusanyiko ni sifuri.

Swali 4. Mbano wa ghafla hufanyika chini ya shinikizo la nje thabiti $P_1$. Kwa hiyo kazi inayopokelewa ni

$$\begin{aligned} W_{\mathrm{irr}}&=-P_1(V_f-V_0) =-xP_0\left(\frac{V_0}{x}-V_0\right)\\ &=P_0V_0(x-1)=nRT_0(x-1)>0. \end{aligned}$$

Bado tuna $\Delta U=0$, hivyo $Q_{\mathrm{irr}}=-nRT_0(x-1)$.

Swali 5. Thermostati hupokea $-Q_{\mathrm{irr}}$, hivyo

$$\Delta S_{\mathrm{th,irr}}=\frac{-Q_{\mathrm{irr}}}{T_0}=nR(x-1).$$

Mizani ya gesi inaandikwa

$$\Delta S_{\mathrm{gas}}=\frac{Q_{\mathrm{irr}}}{T_0}+S_{\mathrm{i}}, \qquad S_{\mathrm{i}}=-nR\ln x+nR(x-1).$$

Kwa thermostati bora, entropy inayopokelewa ni $-Q_{\mathrm{irr}}/T_0$, sawa na badiliko lake: haizalishi entropy. Mkusanyiko gesi—thermostati haupokei joto kutoka kitu kingine; kazi inayoletwa kutoka nje haibebi entropy. Kwa hiyo ongezeko lake la entropy linazalishwa:

$$S_{\mathrm{i}}=\Delta S_{\mathrm{gas}}+\Delta S_{\mathrm{th,irr}} =-nR\ln x+nR(x-1).$$

Tuweke $f(x)=x-1-\ln x$. Basi $f(1)=0$ na $f'(x)=1-1/x=(x-1)/x>0$ kwa $x>1$. Dhima inaongezeka kutoka sifuri, hivyo $S_{\mathrm{i}}=nRf(x)>0$. Kwa upande mwingine,

$$W_{\mathrm{irr}}-W_{\mathrm{rev}} =nRT_0(x-1)-nRT_0\ln x=T_0 S_{\mathrm{i}}.$$

Kwa kuwa $Q=-W$ katika hali zote mbili, kazi ya ziada hutolewa kama joto kwenda thermostati. Hii ndiyo gharama ya kutokuwa rejeshi.