Zoezi la thermodynamiki lililofanyiwa kazi

Tufe lenye chaji na swali la utegemezi kwa ukubwa

Zoezi 16 · Somo 4 — Kanuni ya Kwanza ya Thermodynamiki

mwingiliano wa Coulomb
nishati ya kielektrostatiki
utegemezi kwa ukubwa
kutokuwa na chaji kwa jumla

Swali

Chaji jumla $Q > 0$ imesambazwa kwa usawa katika ujazo wa tufe lenye nusukipenyo $R$ , katika ombwe. Vizuizi hudumisha usambazaji huu; hapa tunahesabu tu nishati yake ya kielektrostatiki $U_{el}$ . Hili si tufe kondakta, ambalo chaji zake zingekaa juu ya uso wakati wa usawa.

Tunajenga usambazaji kwa kuleta maganda yenye chaji kutoka umbali usio na kikomo. Kwa chaji iliyokwisha kukusanywa $Q (r)$ katika mpira wenye nusukipenyo $r$ , potenshali kwenye uso ni $Φ (r) = k_{e} Q (r) / r$ , ambapo $k_{e} = 1/ (4 π ε_{0})$ . Nishati ni sifuri kwa vipande vya chaji vilivyotenganishwa kwa umbali usio na kikomo.

Chora hatua moja ya ujenzi. Andika $Q (r)$ na $d Q$ kwa kutumia $Q, R, r$ na $d r$ , kisha kokotoa $U_{el}$ .
Katika kielelezo endelevu cha viambajengo $N$ vyenye chaji ileile $q_{0}$ , tunaweka $Q = N q_{0}$ . Kwa msongamano wa chembe uliowekwa, andika $R = r_{0} N^{1/3}$ na ubainishe jinsi nishati inavyotegemea $N$ . Linganisha ishara yake na daraja lake la uhomojeni na yale ya uvutano.
Kwa chaji jumla iliyowekwa, kokotoa badiliko la nishati wakati wa upanuzi kutoka $R_{A}$ hadi $R_{B} > R_{A}$ . Ni ipi ishara ya kazi ya nje inayopokelewa ikiwa upanuzi huu ni wa nusu-tuli na bila mtawanyiko? Fomula ya kazi hii inawakilisha mchango wa umeme pekee.
Kwa chaji zenye ishara tofauti, nishati ya mwingiliano ya kihadubini huandikwa $U_{el} = k_{e} i < j \sum \frac{q _{i} q _{j}}{r _{ij}} .$
Kwa nini sheria iliyopatikana kwa tufe lenye chaji ya ishara moja pekee haithibitishi kwamba mada yote ya kawaida haitegemei ukubwa kwa namna ya kawaida? Je, chaji jumla sifuri inatosha kufanya jumla hii iwe sifuri?

Kidokezo

Tumia

d U_{el} = Φ (r) d Q

. Ujenzi kwa maganda huhesabu kila jozi mara moja. Kwa swali la mwisho, chunguza jozi rahisi ya chaji

+ q_{0}

- q_{0}

zilizotenganishwa kwa umbali

a

Jibu la kina

Suluhisho

Swali la 1. Mchoro unaonyesha mpira uliokwisha kupewa chaji, wenye nusukipenyo

r

, na ganda linaloletwa, lenye unene

d r

. Msongamano wa chaji kwa ujazo, ulio thabiti, ni

ρ_{q} = 3 Q / (4 π R^{3})

. Kwa hiyo,

Q (r) = ρ_{q} \frac{4 π r ^{3}}{3} = Q \frac{r ^{3}}{R ^{3}}, d Q = 4 π ρ_{q} r^{2} d r = \frac{3 Q}{R ^{3}} r^{2} d r .

Badiliko la nishati wakati wa kuongeza ganda ni

d U_{el} = \frac{k _{e} Q ( r )}{r} d Q = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} r^{4} d r .

Tukijumlisha michango kutoka kitovu hadi uso,

U_{el} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} \int_{0}^{R} r^{4} d r = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} [\frac{r ^{5}}{5}]_{0}^{R} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R} = \frac{3 Q ^{2}}{20 π ε _{0} R} .

Mwingiliano wa kila jozi ya matabaka huhesabiwa mara moja tu; hakuna kigawo cha ziada $1/2$ kinachohitajika. Tokeo ni chanya: lazima kushinda msukumo ili kukusanya chaji. Zao $k_{e} Q^{2} / R$ hupimwa kwa jouli.

Swali la 2. Kwa msongamano wa chembe

ρ_{N} = N / (4 π R^{3} /3)

uliowekwa, tuna

r_{0} = (3/ (4 π ρ_{N}))^{1/3}

. Tukiweka badala,

U_{el} = \frac{3 k _{e} ( N q _{0} ) ^{2}}{5 r _{0} N ^{1/3}} = \frac{3 k _{e} q _{0}^{2}}{5 r _{0}} N^{5/3} .

Nishati hii ni ya daraja $5/3$ , kwa hiyo haitegemei ukubwa kwa namna ya kawaida. Nishati yake kwa kila chembe hukua kama $N^{2/3}$ . Daraja ni lilelile kama kwa tufe la uvutano kwa sababu potenshali zote mbili hupungua kama $1/ r$ ; ishara ni kinyume, kwa kuwa chaji zenye ishara moja husukumana. Kielelezo endelevu kinaeleza mchango wa pamoja, bila kuhesabu nishati-binafsi za chaji nukta.

Swali la 3. Kwa

Q

iliyowekwa, tofauti ni

Δ U_{el} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5} (\frac{1}{R _{B}} - \frac{1}{R _{A}}) < 0.

Katika mabadiliko ya nusu-tuli bila mtawanyiko, mchango wa umeme kwa kazi inayopokelewa ni badiliko la nishati ya potenshali. Tunaweza pia kulithibitisha kwa integrali:

W_{ext} = \int_{R_{A}}^{R_{B}} - \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R ^{2}} d R = [\frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R}]_{R_{A}}^{R_{B}} = Δ U_{el} < 0.

Wakala wa nje huzuia chaji zinazosukumana na hupokea kazi wakati wa upanuzi. Uhifadhi mwingine wowote wa nishati katika kifaa cha kudumisha chaji haujajumuishwa katika mizania hii ya umeme.

Swali la 4. Kwa chaji zenye ishara moja, zao zote

q_{i} q_{j}

ni chanya: michango yake hujumlishana. Kinyume chake, katika mada isiyo na chaji kwa jumla kuna michango ya kuvutana na ya kusukumana inayoweza kufutana kwa umbali mkubwa. Kwa hiyo kutokuwa na chaji kwa jumla, na, katika mazingira ambamo hutokea, ukingaji, hubadilisha hoja inayotegemea kujumlisha sehemu zote zenye ishara moja. Hata hivyo, kutokuwa na chaji kwa jumla hakumaanishi

U_{el} = 0

. Chaji mbili

+ q_{0}

- q_{0}

zilizotenganishwa kwa umbali

a

zina chaji jumla sifuri lakini nishati ya mwingiliano

- k_{e} q_{0}^{2} / a

, isiyo sifuri. Lazima tujue mpangilio na uhusiano kati ya chaji ili kupata sheria ya mabadiliko ya kiwango. Kwa hiyo hesabu ya tufe lenye chaji iliyosambazwa kwa usawa si uthibitisho kwamba mada yote haitegemei ukubwa, wala si uthibitisho kwamba mifumo isiyo na chaji kwa jumla inategemea ukubwa.