Zoezi la thermodynamiki lililofanyiwa kazi

Kuthibitisha uhusiano wa Maxwell kwenye adiabati

Zoezi 35 · Somo 7 — Muundo wa Kihisabati: Uhusiano wa Msingi

uhusiano wa Maxwell
gesi bora
adiabati
uwezo wa joto kwa moli
vitofautishi vya sehemu

Swali

Kwa mfumo funge wenye muundo uliowekwa,

d U = T d S - P d V .

Fikiria gesi bora yenye uwezo wa joto kwa moli $c_{V}$ thabiti, na tuandike $γ = c_{P} / c_{V}$ , ambapo $c_{P} - c_{V} = R$ .

Kutokana na diferenshali ya $U (S, V)$ , pata uhusiano wa Maxwell $(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = - (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} .$
Kokotoa upande wa kushoto kutokana na $T V^{γ - 1} = const$ .
Kokotoa kando upande wa kulia kwa kutumia $P = n R T / V$ na $d S = n c_{V} d T / T$ kwa ujazo thabiti.
Thibitisha kwamba matokeo mawili yanalingana.

Kidokezo

Katika swali la 1, tambua

T = (\partial U / \partial S)_{V}

- P = (\partial U / \partial V)_{S}

, kisha badilisha mpangilio wa vitofautishi.

Jibu la kina

Suluhisho

1. Vigezo asilia vya

U

S

V

. Kwa hiyo tuna

T = (\frac{\partial U}{\partial S})_{V}, - P = (\frac{\partial U}{\partial V})_{S} .

Kwa kuwa vitofautishi mseto vya $U$ ni sawa,

(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = \frac{\partial ^{2} U}{\partial V \partial S} = - (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} .

2. Kwenye adiabati rejeshi, $T V^{γ - 1} = K$ . Tukitofautisha kwa entropy thabiti,

V^{γ - 1} d T + T (γ - 1) V^{γ - 2} d V = 0.

Baada ya kugawanya kwa $V^{γ - 1} d V$ ,

(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = - (γ - 1) \frac{T}{V} .

3. Kwa ujazo thabiti, $P = n R T / V$ , kwa hiyo

(\frac{\partial P}{\partial S})_{V} = \frac{n R}{V} (\frac{\partial T}{\partial S})_{V} .

Lakini $d S = n c_{V} d T / T$ kwa ujazo thabiti, hivyo $(\partial T / \partial S)_{V} = T / (n c_{V})$ . Kwa hiyo

- (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} = - \frac{R T}{c _{V} V} .

4. Uhusiano wa Mayer unatoa $R / c_{V} = (c_{P} - c_{V}) / c_{V} = γ - 1$ . Kwa hiyo upande wa kulia ni $- (γ - 1) T / V$ , sawa kabisa na upande wa kushoto.