Zoezi la thermodynamiki lililofanyiwa kazi

Kuchuja mahusiano ya msingi yanayopendekezwa

Zoezi 34 · Somo 7 — Muundo wa Kihisabati: Uhusiano wa Msingi

uhusiano wa msingi
utegemezi kwa ukubwa
funksioni homojeni
halijoto chanya
milinganyo ya hali
adiabati rejeshi
uhusiano wa Euler

Swali

Tunapendekeza mahusiano matatu ya msingi kwa mfumo rahisi wenye idadi ya chembe $N$ inayobadilika. Katika kila moja, $a > 0$ na $b > 0$ ni thabiti, na tunazingatia $U > 0$ , $V > 0$ , $N > 0$ na $S \geq 0$ :

(1) S = a N U V, (2) S = b \frac{N ^{3}}{U V}, (3) U = a \frac{S ^{4}}{N V ^{2}} .

Uhusiano wa msingi unaokubalika lazima utegemee ukubwa, yaani uwe homojeni wa daraja la kwanza katika vigezo vyake vinavyotegemea ukubwa, na lazima utoe halijoto chanya.

Chunguza utegemezi kwa ukubwa wa kila moja ya mahusiano matatu, kisha ishara ya halijoto inayotabiriwa nayo. Onyesha kwamba ni mmoja tu unaokubalika.
Kwa uhusiano unaokubalika, pata milinganyo mitatu ya hali inayotoa $T$ , $P$ na $μ$ kwa kutumia $S$ , $V$ na $N$ . Thibitisha kwamba viwango hivi vitatu havitegemei ukubwa, kisha thibitisha uhusiano wa Euler $U = T S - P V + μ N$ .
Thibitisha kwamba halijoto ni chanya. Hitimisha kwamba $U$ ni funksioni inayoongezeka ya $S$ , na kwamba uhusiano unaweza kugeuzwa kuwa uhusiano $S (U, V, N)$ . Halijoto ni nini wakati $S$ inaelekea $0$ ?
Pata mlinganyo wa hali unaohusisha $P$ , $V$ , $T$ na $N$ pekee.
Bainisha mlinganyo wa adiabati rejeshi katika mchoro $(P, V)$ , kwa $N$ iliyowekwa.

Kidokezo

Kwa utegemezi kwa ukubwa, badilisha

(U, V, N)

(S, V, N)

kwa

(λ U, λV, λ N)

(λ S, λV, λ N)

na utafute kipeo cha

λ

kinachopatikana. Katika uwakilishi wa nishati,

T = (\partial U / \partial S)_{V, N}

P = - (\partial U / \partial V)_{S, N}

μ = (\partial U / \partial N)_{S, V}

. Adiabati rejeshi ni badiliko lenye entropy thabiti.

Jibu la kina

Suluhisho

Swali 1. Tuzidishe vigezo vyote vinavyotegemea ukubwa kwa

λ > 0

. Kwa uhusiano (1),

a (λ N) (λ U) (λV) = a λ^{3} N U V = λ^{3/2} a N U V .

Ni homojeni ya daraja $3/2$ , si ya daraja la kwanza: kuongeza ukubwa wa mfumo mara mbili kungezidisha entropy yake kwa $2^{3/2} \approx 2, 8$ . Hautegemei ukubwa kwa namna inayotakiwa, kwa hiyo lazima ukataliwe.

Kwa uhusiano (2),

b \frac{( λ N ) ^{3}}{( λ U ) ( λV )} = b \frac{λ ^{3} N ^{3}}{λ ^{2} U V} = λ b \frac{N ^{3}}{U V} .

Kweli unategemea ukubwa. Lakini kitofautishi chake kuhusiana na $U$ ni

\frac{1}{T} = (\frac{\partial S}{\partial U})_{V, N} = - b \frac{N ^{3}}{U ^{2} V} < 0,

jambo ambalo lingetoa halijoto hasi. Nao pia lazima ukataliwe.

Kwa uhusiano (3),

a \frac{( λ S ) ^{4}}{( λ N ) ( λV ) ^{2}} = a \frac{λ ^{4} S ^{4}}{λ ^{3} N V ^{2}} = λ a \frac{S ^{4}}{N V ^{2}} .

Unategemea ukubwa. Tutathibitisha katika swali la 3 kwamba halijoto yake ni chanya: huu ndio uhusiano pekee unaokubalika.

Swali 2. Tunatofautisha

U = a S^{4} N^{- 1} V^{- 2}

kuhusiana na kila kigezo, vingine viwili vikiwa vimewekwa:

T = (\frac{\partial U}{\partial S})_{V, N} = \frac{4 a S ^{3}}{N V ^{2}}, P = - (\frac{\partial U}{\partial V})_{S, N} = - a \frac{S ^{4}}{N} \cdot (- 2) V^{- 3} = \frac{2 a S ^{4}}{N V ^{3}}, μ = (\frac{\partial U}{\partial N})_{S, V} = a \frac{S ^{4}}{V ^{2}} \cdot (- 1) N^{- 2} = - \frac{a S ^{4}}{N ^{2} V ^{2}} .

Tuzidishe $S$ , $V$ na $N$ kwa $λ$ . Kiasi cha $T$ kinapata kigezo $λ^{3}$ na kigawanyo chake pia: $T$ haibadiliki. Kwa $P$ , tunapata $λ^{4} / λ^{1 + 3} = 1$ , na kwa $μ$ , $λ^{4} / λ^{2 + 2} = 1$ . Kwa hiyo viwango vyote vitatu havitegemei ukubwa.

Tukilinganisha na

U = a S^{4} / (N V^{2})

, tunatambua

T S = \frac{4 a S ^{4}}{N V ^{2}} = 4 U, P V = \frac{2 a S ^{4}}{N V ^{2}} = 2 U, μ N = - \frac{a S ^{4}}{N V ^{2}} = - U,

kwa hiyo $T S - P V + μ N = 4 U - 2 U - U = U$ : uhusiano wa Euler umethibitishwa.

Swali 3. Kwa kuwa

a > 0

N > 0

V^{2} > 0

S \geq 0

, tuna

T = 4 a S^{3} / (N V^{2}) \geq 0

, na usawa hutokea tu kwa

S = 0

. Kwa

S > 0

, kitofautishi

(\partial U / \partial S)_{V, N} = T

ni chanya kabisa:

U

ni funksioni inayoongezeka kabisa ya

S

, kwa

V

N

zilizowekwa. Kwa hiyo tunaweza kuigeuza. Tukipandisha kwa kipeo

1/4

S (U, V, N) = (\frac{N V ^{2} U}{a})^{1/4} .

Wakati $S$ inaelekea $0$ , $T = 4 a S^{3} / (N V^{2})$ inaelekea $0$ : entropy huwa sifuri kwenye halijoto sifuri, kama inavyotakiwa na kanuni ya tatu tutakayoikuta baadaye.

Swali 4. Lazima tuondoe

S

kati ya fomula za

T

na za

P

. Fomula ya

T

inatoa

S^{3} = \frac{T N V ^{2}}{4 a} ⟹ S = (\frac{T N V ^{2}}{4 a})^{1/3} .

Kwa kuwa $S^{4} = S \cdot S^{3}$ , tuweke katika $P$ :

P = \frac{2 a}{N V ^{3}} S^{4} = \frac{2 a}{N V ^{3}} \cdot \frac{T N V ^{2}}{4 a} \cdot S = \frac{T}{2 V} (\frac{T N V ^{2}}{4 a})^{1/3} .

Tupandishe kwa kipeo cha tatu ili kuondoa kipeuo:

P^{3} = \frac{T ^{3}}{8 V ^{3}} \cdot \frac{T N V ^{2}}{4 a} = \frac{N T ^{4}}{32 aV}, yaani 32 a P^{3} V = N T^{4} .

Kwa mfumo huu, huu ndio mlinganyo unaolingana na mlinganyo $P V = N k_{B} T$ wa gesi bora.

Swali 5. Kando ya adiabati rejeshi, entropy ni thabiti, na

N

imewekwa. Katika

P = \frac{2 a S ^{4}}{N} \cdot \frac{1}{V ^{3}},

kigezo $2 a S^{4} / N$ kwa hiyo ni thabiti, hivyo

P V^{3} = const .

Katika mchoro $(P, V)$ , adiabati rejeshi ni mikunjo $P \propto V^{- 3}$ , yenye mwinuko mkali zaidi kuliko adiabati $P \propto V^{- 5/3}$ za gesi bora ya atomu moja.