Zoezi la thermodynamiki lililofanyiwa kazi

Kusoma uhusiano wa msingi

Zoezi 33 · Somo 7 — Muundo wa Kihisabati: Uhusiano wa Msingi

uhusiano wa msingi
halijoto
shinikizo
potenshali ya kikemia
utegemezi kwa ukubwa
gesi bora

Swali

Fikiria moli $n$ za gesi ambayo entropy yake inatolewa na

S (U, V, n) = n s_{0} + n c_{V} ln (\frac{U}{n u _{0}}) + n R ln (\frac{V}{n v _{0}}),

ambapo $s_{0}$ , $u_{0}$ , $v_{0}$ na uwezo wa joto kwa moli $c_{V}$ ni thabiti chanya. Tunakumbusha kwamba

\frac{1}{T} = (\frac{\partial S}{\partial U})_{V, n}, \frac{P}{T} = (\frac{\partial S}{\partial V})_{U, n}, - \frac{μ}{T} = (\frac{\partial S}{\partial n})_{U, V} .

Thibitisha moja kwa moja kwamba $S$ inategemea ukubwa.
Pata tena milinganyo $U = n c_{V} T$ na $P V = n R T$ .
Kokotoa $μ$ na uthibitishe uhusiano wa Euler $U = T S - P V + μ n$ .
Eleza kwa nini uhusiano $P V = n R T$ peke yake hautoshi kubainisha halijoto na shinikizo kutoka $(U, V, n)$ .

Kidokezo

Kwa utegemezi kwa ukubwa, badilisha

(U, V, n)

kwa

(λ U, λV, λn)

. Unapotofautisha kuhusiana na

n

, usisahau kwamba

n

inaonekana mbele ya logarithi na pia katika vigawanyo vyake.

Jibu la kina

Suluhisho

1. Kwa

λ > 0

S (λ U, λV, λn) = λn s_{0} + λn c_{V} ln (\frac{λ U}{λn u _{0}}) + λn R ln (\frac{λV}{λn v _{0}}) .

Vigezo $λ$ hufutika ndani ya logarithi. Kinachobaki ni $S (λ U, λV, λn) = λ S (U, V, n)$ : funksioni kweli ni homojeni ya daraja la kwanza, kwa hiyo inategemea ukubwa.

2. Kwa

V

n

zilizowekwa,

\frac{1}{T} = (\frac{\partial S}{\partial U})_{V, n} = n c_{V} \frac{1}{U},

kwa hiyo $U = n c_{V} T$ . Vivyo hivyo,

\frac{P}{T} = (\frac{\partial S}{\partial V})_{U, n} = n R \frac{1}{V} .

Tukizidisha kwa $T V$ , tunapata $P V = n R T$ .

3. Kwa

U

V

zilizowekwa,

(\frac{\partial S}{\partial n})_{U, V} = s_{0} + c_{V} ln (\frac{U}{n u _{0}}) - c_{V} + R ln (\frac{V}{n v _{0}}) - R .

Hivyo

μ = T [c_{V} + R - \frac{S}{n}] .

Lakini $U / n = c_{V} T$ na $P V / n = R T$ . Kwa hiyo

T S - P V + μ n = T S - n R T + n T (c_{V} + R - \frac{S}{n}) = n c_{V} T = U .

4. Mlinganyo $P V = n R T$ unahusisha $P$ , $V$ na $T$ , lakini hausemi jinsi nishati inavyotegemea halijoto. Mlinganyo wa kalori $U = n c_{V} T$ unaleta taarifa inayokosekana. Uhusiano wa msingi una milinganyo hii miwili ya hali kwa wakati mmoja, na pia huamua potenshali ya kikemia.