Swali

Tunarudia majaribio mawili ya mbano adiabati ya somo la 5, ambayo matokeo yake muhimu yanakumbushwa hapa. Silinda wima iliyozuiwa kupitisha joto, yenye eneo la sehemu ya msalaba $\mathcal S$ , ina moli $n$ za gesi bora. Pistoni yake, pia iliyozuiwa kupitisha joto, inasogea bila msuguano na ina misa inayopuuzwa. Uwezo wa joto kwa moli $c_V$ na $c_P$ ni thabiti, ambapo

\gamma=\frac{c_P}{c_V}>1,\qquad c_V=\frac{R}{\gamma-1},\qquad c_P=c_V+R.

Mwanzoni pistoni inaathiriwa na shinikizo la anga $P_0$ pekee: gesi iko katika hali $A=(P_0,V_0,T_0)$ , ambapo $P_0V_0=nRT_0$ . Mzigo wa ziada wenye misa $M$ unaongeza shinikizo la nje kuwa

P_1=P_0+\frac{Mg}{\mathcal S}=xP_0,\qquad x>1.

Majaribio yote mawili yanaanza tena kutoka $A$ . Katika la kwanza, tunaongeza kisha kuondoa mzigo punje ya mchanga baada ya nyingine: gesi hufuata adiabati rejeshi $A\to B\to A$ . Katika la pili, tunaweka mzigo wote kwa mara moja, tunasubiri usawa $B'$ , kisha kuuondoa wote mara moja na kusubiri usawa $B"$ . Shinikizo za nje ni thabiti katika kila hatua ya ghafla: $P_1$ wakati wa kuongeza mzigo na $P_0$ wakati wa kuuondoa. Tunadhani mitetemo inadhoofishwa na utawanyaji wa nishati katika gesi; pistoni haitembei katika hali za awali na mwisho na haihifadhi nishati.

Mbano zote mbili zinaanza kutoka A (katikati). Kushoto, mzigo huongezwa hatua kwa hatua hadi B; kuondoa hatua kwa hatua hurudisha A. Kulia, mzigo huwekwa ghafla hadi B'; kuondoa ghafla kunafikisha hali nyingine B”. Mchoro unaonyesha mbano; hali nne zimeelezwa hapa chini. — Kielelezo 1. Mbano zote mbili zinaanza kutoka $A$ (katikati). Kushoto, mzigo huongezwa hatua kwa hatua hadi $B$ ; kuondoa hatua kwa hatua hurudisha $A$ . Kulia, mzigo huwekwa ghafla hadi $B'$ ; kuondoa ghafla kunafikisha hali nyingine $B"$ . Mchoro unaonyesha mbano; hali nne zimeelezwa hapa chini.

Sheria za Laplace katika njia rejeshi na kanuni ya kwanza katika njia za ghafla zimetoa matokeo yafuatayo. Tunaweka

\begin{aligned} \theta=\frac{1+(\gamma-1)x}{\gamma},\qquad \phi=\frac{1+(\gamma-1)/x}{\gamma}. \begin{array}{c|ccc} \text{Hali} & P/P_0 & V/V_0 & T/T_0\\ \hline A & 1 & 1 & 1\\[3pt] B & x & x^{-1/\gamma} & x^{(\gamma-1)/\gamma}\\[3pt] B' & x & \theta/x & \theta\\[3pt] B" & 1 & \theta\phi & \theta\phi \end{array} \end{aligned}

Hasa tuna

\theta>x^{(\gamma-1)/\gamma},\qquad \phi>x^{-(\gamma-1)/\gamma},\qquad \theta\phi-1=\frac{\gamma-1}{\gamma^2}\frac{(x-1)^2}{x}>0.

Hatua zote ni adiabati: $Q=0$ na $W=\Delta U=nc_V(T_f-T_i)$ , kwa kanuni ya nishati zinazopokelewa na gesi. Hivyo,

\begin{aligned} W_{AB}&=nc_VT_0\left[x^{(\gamma-1)/\gamma}-1\right], & W_{BA}&=-W_{AB},\\ W_{AB'}&=nc_VT_0(\theta-1), & W_{B'B"}&=nc_VT_0\theta(\phi-1). \end{aligned}

Njia rejeshi ya kwenda na kurudi ina kazi halisi sifuri, huku njia ya ghafla ikipokea $W_{AB'B"}=nc_VT_0(\theta\phi-1)>0$ .

Hesabu mabadiliko ya entropy katika $A\to B$ na $B\to A$ , kisha ufanye mizani ya entropy ya njia rejeshi ya kwenda na kurudi.
Hesabu $\Delta S_{AB'}$ na uonyeshe kuwa ni chanya kabisa. Ni sehemu gani ya badiliko hili inayobadilishwa na ni sehemu gani inayozalishwa?
Fanya vivyo hivyo kwa uondoaji wa ghafla $B'\to B"$ .
Hesabu moja kwa moja $\Delta S_{AB"}$ na uhakikishe kuwa ni sawa na jumla ya entropy mbili zilizozalishwa zilizopatikana hapo juu. Je, njia $A\to B'\to B"$ ni mzunguko wa gesi?
Linganisha mizani ya nishati na entropy ya njia mbili za kwenda na kurudi. Eleza kwa nini kutokuwa na joto linalobadilishwa hakumaanishi kwamba entropy inahifadhiwa.

Kidokezo

Kati ya hali mbili za usawa za gesi bora,

\Delta S=nc_V\ln\frac{T_f}{T_i}+nR\ln\frac{V_f}{V_i}.

Kwa $B'\to B"$ , tumia $T_{B"}/T_{B'}=\phi$ na $V_{B"}/V_{B'}=x\phi$ . Ukosefu wa usawa uliokumbushwa katika maelezo unaruhusu kuamua ishara. Katika kila hatua, $S_{\mathrm{e}}=0$ .

Jibu la kina

Suluhisho

Swali 1. Jedwali linatoa

T_B/T_0=x^{(\gamma-1)/\gamma}

na

V_B/V_0=x^{-1/\gamma}

. Kwa kuviingiza katika fomula ya entropy,

\begin{aligned} \Delta S_{AB} &=nc_V\ln\left(x^{(\gamma-1)/\gamma}\right) +nR\ln\left(x^{-1/\gamma}\right)\\ &=nc_V\frac{\gamma-1}{\gamma}\ln x-\frac{nR}{\gamma}\ln x\\ &=\frac n\gamma[c_V(\gamma-1)-R]\ln x=0, \end{aligned}

kwa sababu $c_V(\gamma-1)=R$ . Kurudi kunafuata njia ileile kwa mwelekeo wa kinyume, hivyo $\Delta S_{BA}=0$ . Katika kila hatua na katika njia ya kwenda na kurudi, $S_{\mathrm{e}}=S_{\mathrm{i}}=\Delta S=0$ . Gesi hurudia hali yake $A$ .

Swali 2. Kwa mbano wa ghafla,

T_{B'}/T_0=\theta

na

V_{B'}/V_0=\theta/x

. Kwa kutumia

R=c_V(\gamma-1)

kisha tabia za logarithi,

\begin{aligned} \Delta S_{AB'} &=nc_V\ln\theta+nR\ln\frac{\theta}{x}\\ &=nc_V[\ln\theta+(\gamma-1)(\ln\theta-\ln x)]\\ &=nc_V[\gamma\ln\theta-(\gamma-1)\ln x]\\ &=nc_V\ln\left(\frac{\theta^\gamma}{x^{\gamma-1}}\right). \end{aligned}

Ukosefu wa usawa unaokubaliwa $\theta>x^{(\gamma-1)/\gamma}$ unatoa $\theta^\gamma>x^{\gamma-1}$ : uwiano ndani ya logarithi unazidi 1, hivyo $\Delta S_{AB'}>0$ . Entropy inayobadilishwa ni sifuri, kwa hiyo $S_{\mathrm{i},AB'}=\Delta S_{AB'}$ . Entropy ya gesi huongezeka kwa uzalishaji bila gesi kupokea joto.

Swali 3. Katika uondoaji wa ghafla, uwiano kati ya hali za mwisho na awali za hatua hii ni

\frac{T_{B"}}{T_{B'}}=\frac{\theta\phi}{\theta}=\phi, \qquad \frac{V_{B"}}{V_{B'}}=\frac{\theta\phi}{\theta/x}=x\phi.

Hivyo,

\begin{aligned} \Delta S_{B'B"} &=nc_V\ln\phi+nR\ln(x\phi)\\ &=nc_V[\ln\phi+(\gamma-1)(\ln x+\ln\phi)]\\ &=nc_V[\gamma\ln\phi+(\gamma-1)\ln x]\\ &=nc_V\ln\left(\phi^\gamma x^{\gamma-1}\right)>0. \end{aligned}

Kwa kweli, $\phi>x^{-(\gamma-1)/\gamma}$ inasababisha $\phi^\gamma x^{\gamma-1}>1$ . Hapa pia $S_{\mathrm{e}}=0$ na $S_{\mathrm{i},B'B"}=\Delta S_{B'B"}$ . Gesi hupoa katika upanuzi huu ( $\phi<1$ ), lakini entropy yake huongezeka: kijenzi cha upanuzi kinatawala.

Swali 4. Hali

A

na

B"

zina shinikizo sawa na

T_{B"}/T_0=V_{B"}/V_0=\theta\phi

, hivyo

\Delta S_{AB"}=nc_V\ln(\theta\phi)+nR\ln(\theta\phi) =nc_P\ln(\theta\phi)>0.

Tumetumia $c_P=c_V+R$ na $\theta\phi>1$ . Sasa tujumlishe matokeo mawili yaliyotangulia:

\begin{aligned} \Delta S_{AB'}+\Delta S_{B'B"} &=nc_V[\gamma\ln\theta-(\gamma-1)\ln x\\ &\qquad+\gamma\ln\phi+(\gamma-1)\ln x]\\ &=nc_V\gamma(\ln\theta+\ln\phi)\\ &=nc_P\ln(\theta\phi)=\Delta S_{AB"}. \end{aligned}

Vijenzi vya $\ln x$ vinafutana. Kwa kuwa kila hatua ni adiabati, jumla hii pia ni jumla ya entropy mbili zilizozalishwa. Kurudia kwa shinikizo la nje hadi $P_0$ hakutoshi kufunga mzunguko wa gesi: $B"\ne A$ , kwa sababu $T_{B"}>T_0$ na $V_{B"}>V_0$ .

Swali 5. Kwa

A\to B\to A

, tuna

Q_{\mathrm{tot}}=W_{\mathrm{tot}}=\Delta U_{\mathrm{tot}}=0

na

S_{\mathrm{i},\mathrm{tot}}=0

. Kwa

A\to B'\to B"

,

Q_{\mathrm{tot}}=0,\qquad W_{\mathrm{tot}}=\Delta U_{\mathrm{tot}}=nc_VT_0(\theta\phi-1)>0, S_{\mathrm{e},\mathrm{tot}}=0,\qquad S_{\mathrm{i},\mathrm{tot}}=\Delta S_{\mathrm{tot}}=nc_P\ln(\theta\phi)>0.

Kanuni ya kwanza inaeleza kazi halisi inayohifadhiwa kama nishati ya ndani; kanuni ya pili inapima kutokuwa rejeshi kwa entropy inayozalishwa. Mchakato adiabati una entropy thabiti tu ikiwa hauzalishi entropy, kama hapa katika hali rejeshi.