Swali

Maji ya kimiminika yenye misa $m$ yanatoka $T_i$ hadi $T_f>T_i$ . Tunapuuza upanuzi wake na kuchukulia uwezo wake wa joto kwa kila kitengo cha misa $c$ kuwa thabiti. Maji yanabaki kimiminika katika jaribio lote. Mfumo $S$ ni maji; mazingira yake ni thermostati inayotumiwa au thermostati zote zinazotumiwa. Mkusanyiko $\{S+\text{mazingira}\}=\{\text{maji + thermostati}\}$ umetengwa. Hakuna kazi inayobadilishwa, na kila mgusano wa joto unaendelea hadi usawa. Joto huhesabiwa chanya linapopokelewa na kitu kinachozingatiwa.

Chora maji yakigusana na thermostati moja yenye halijoto $T_f$ . Hesabu joto $Q_{\mathrm{water}}$ linalopokelewa na maji, kisha joto $Q_{\mathrm{th}}$ linalopokelewa na thermostati. Eleza uhusiano kati ya joto hizo mbili.
Kutokana na hayo, pata mabadiliko ya entropy ya maji, thermostati na mkusanyiko. Onyesha kuwa entropy inayozalishwa ni chanya.
Tunaanza tena kutoka $T_i$ na kutumia thermostati mbili kwa mfululizo, zenye halijoto $T_m=(T_i+T_f)/2$ kisha $T_f$ . Hesabu joto linalopokelewa na kila thermostati na ufanye tena mizani ya entropy. Je, badiliko la entropy ya maji linabadilika? Linganisha entropy inayozalishwa na ile ya jaribio la kwanza.
Tunaanza tena kutoka $T_i$ na kutumia thermostati $N$ zenye halijoto $T_k=T_i+k h$ , ambapo $h=(T_f-T_i)/N$ na $k=1,...,N$ . Pata mabadiliko ya entropy ya maji, thermostati zote na mfumo mzima. Pata kikomo cha entropy inayozalishwa wakati $N\to\infty$ na ufasiri matokeo.

Kidokezo

Tumia kanuni ya kwanza kwa maji, kisha kwa mkusanyiko uliotengwa. Ili kuhesabu entropy ya maji, fikiria upashaji joto rejeshi kati ya hali zilezile. Thermostati yenye halijoto thabiti

T_{\mathrm{th}}

hupokea entropy

Q_{\mathrm{th}}/T_{\mathrm{th}}

. Katika swali la mwisho, tambua jumla ya Riemann.

Jibu la kina

Suluhisho

Swali 1. Mchoro unaonyesha maji mwanzoni katika $T_i$ , thermostati katika $T_f$ na mshale wa joto kutoka thermostati kwenda majini. Mpaka unazunguka mkusanyiko uliotengwa $S+\text{mazingira}$ . Maji yanafikia $T_f$ bila kupokea kazi, hivyo kanuni ya kwanza inatoa

Q_{\mathrm{water}}=\Delta U_{\mathrm{water}}=mc(T_f-T_i)>0.

Mkusanyiko maji—thermostati umetengwa: nishati yake ya jumla inahifadhiwa,

\Delta U_{\mathrm{water}}+\Delta U_{\mathrm{th}}=0.

Kwa kuwa hakuna kitu kati ya hivyo viwili kinachobadilishana kazi,

Q_{\mathrm{water}}+Q_{\mathrm{th}}=0,\qquad Q_{\mathrm{th}}=-Q_{\mathrm{water}}=-mc(T_f-T_i)<0.

Joto linalopokelewa na thermostati ni hasi: inatoa nishati kwa maji.

Swali 2. Katika njia rejeshi kati ya

T_i

na

T_f

, maji hupokea

\delta Q_{\mathrm{rev}}=mc\,\mathrm dT

. Badiliko la entropy yake ni

\Delta S_{\mathrm{water}}=mc\int_{T_i}^{T_f}\frac{\mathrm dT}{T} =mc[\ln T]_{T_i}^{T_f}=mc\ln\frac{T_f}{T_i}>0.

Thermostati inabaki katika $T_f$ , hivyo

\Delta S_{\mathrm{th}}=\frac{Q_{\mathrm{th}}}{T_f} =-mc\frac{T_f-T_i}{T_f}<0.

Mkusanyiko umetengwa, kwa hiyo haubadilishani entropy na ulimwengu mwingine. Badiliko lote la entropy yake ni entropy iliyozalishwa:

\Delta S_{\mathrm{tot}}^{(1)} =\Delta S_{\mathrm{water}}+\Delta S_{\mathrm{th}} =mc\left[\ln\frac{T_f}{T_i}-\frac{T_f-T_i}{T_f}\right]>0.

Kwa kweli, $1/T>1/T_f$ kwa $T_i\leq T<T_f$ , hivyo $\int_{T_i}^{T_f}\mathrm dT/T>(T_f-T_i)/T_f$ . Uhamishaji wa joto kati ya vitu vyenye halijoto tofauti si rejeshi.

Swali 3. Tuweke

h=(T_f-T_i)/2

, hivyo

T_m-T_i=T_f-T_m=h

. Maji hupokea

mc h

katika kila hatua. Kutengwa kwa mkusanyiko kunatoa, kwa thermostati,

Q_{\mathrm{th},1}=-mc h,\qquad Q_{\mathrm{th},2}=-mc h,

na kwa hiyo

\Delta S_{\mathrm{th},1}=-\frac{mc h}{T_m},\qquad \Delta S_{\mathrm{th},2}=-\frac{mc h}{T_f}.

Kwa maji, tujumlishe mabadiliko katika hatua mbili:

\begin{aligned} \Delta S_{\mathrm{water}} &=mc\ln\frac{T_m}{T_i}+mc\ln\frac{T_f}{T_m}\\ &=mc\bigl[(\ln T_m-\ln T_i)+(\ln T_f-\ln T_m)\bigr]\\ &=mc\ln\frac{T_f}{T_i}. \end{aligned}

Vijenzi vya kati vinafutana. Badiliko la entropy ya maji ni lilelile hasa kama kwa thermostati moja: entropy ni dhima ya hali, na hali za awali na mwisho za maji ni zilezile katika majaribio yote mawili. Njia pekee ndiyo inabadilika. Kwa mkusanyiko uliotengwa,

\Delta S_{\mathrm{tot}}^{(2)} =mc\left[\ln\frac{T_f}{T_i}-h\left(\frac1{T_m}+\frac1{T_f}\right)\right].

Tofauti kati ya mizani hiyo miwili ni

\Delta S_{\mathrm{tot}}^{(1)}-\Delta S_{\mathrm{tot}}^{(2)} =mc h\left(\frac1{T_m}-\frac1{T_f}\right)>0.

Kila mgusano bado unazalisha entropy, lakini hatua ya kati inapunguza jumla ya entropy inayozalishwa.

Swali 4. Tuweke

T_0=T_i

na

T_N=T_f

. Katika hatua

k

, maji hutoka

T_{k-1}

hadi

T_k

na kupokea

mc h

. Thermostati husika inabaki katika

T_k

na kupokea

Q_{\mathrm{th},k}=-mc h,\qquad \Delta S_{\mathrm{th},k}=-\frac{mc h}{T_k}.

Kwa maji, vijenzi vya kati vinafutana tena katika jumla:

\begin{aligned} \Delta S_{\mathrm{water}} &=mc\sum_{k=1}^{N}\ln\frac{T_k}{T_{k-1}}\\ &=mc\left[\ln\frac{T_1}{T_0}+\ln\frac{T_2}{T_1} +\cdots+\ln\frac{T_N}{T_{N-1}}\right]\\ &=mc\ln\left(\frac{T_1}{T_0}\frac{T_2}{T_1} \cdots\frac{T_N}{T_{N-1}}\right)\\ &=mc\ln\frac{T_N}{T_0} =mc\ln\frac{T_f}{T_i}. \end{aligned}

Kila halijoto ya kati inaonekana mara moja kwenye namba ya juu na mara moja kwenye namba ya chini. Kuongeza thermostati kwa hiyo bado hakubadili badiliko la entropy ya maji ikiwa hali za mwanzo na mwisho ni zilezile. Hata hivyo, entropy inayopotezwa na thermostati inategemea $N$ :

\Delta S_{\mathrm{th}}^{(N)}=-mc\,h\sum_{k=1}^{N}\frac1{T_k},\qquad \Delta S_{\mathrm{tot}}^{(N)} =mc\left[\ln\frac{T_f}{T_i}-h\sum_{k=1}^{N}\frac1{T_k}\right].

Wakati $N\to\infty$ , tuna $h\to0$ na jumla ya Riemann inaelekea

h\sum_{k=1}^{N}\frac1{T_k} \longrightarrow\int_{T_i}^{T_f}\frac{\mathrm dT}{T} =\ln\frac{T_f}{T_i}.

Kwa hiyo entropy inayozalishwa katika mkusanyiko uliotengwa inaelekea

\lim_{N\to\infty}\Delta S_{\mathrm{tot}}^{(N)} =mc\left[\ln\frac{T_f}{T_i}-\ln\frac{T_f}{T_i}\right]=0.

Maji daima hupata entropy ileile, huku thermostati zikipoteza, katika kikomo, kiasi hicho hicho hasa. Upashaji joto rejeshi ni kikomo bora cha migusano inayofanywa polepole kadiri tunavyotaka huku tofauti ya halijoto ikiwa ndogo isiyo na kikomo.