Swali

Fikiria moli $n$ za gesi bora yenye uwezo wa joto kwa moli $c_V$ usiobadilika, inayotoka hali ya usawa $(T_I, V_I)$ kwenda hali ya usawa $(T_F, V_F)$ kupitia mchakato wowote.

Onyesha kuwa badiliko la entropy kati ya hali hizo ni $\Delta S = nc_V\ln\frac{T_F}{T_I} + nR\ln\frac{V_F}{V_I}.$ Kwa nini fomula hii inatumika pia kwa mchakato usiorejeshi kati ya hali hizo hizo?
Toa milinganyo ya $\mathrm{d}S$ na $\Delta S$ kwa kutumia vigezo $(T,P)$ . Kumbuka uhusiano wa Mayer $c_P = c_V + R$ .
$\Delta S = 0$ inaeleza mkunjo gani katika vigezo $(T,V)$ ? Pata sheria ya Laplace na eleza kwa nini mchakato adiabati rejeshi huitwa mchakato wenye entropy isiyobadilika.
Kwa $n=1\ \mathrm{mol}$ ya gesi ya atomu moja ( $c_V=\frac32R$ ), mwanzoni ikiwa katika $300\ \mathrm K$ , hesabu $\Delta S$ kwa: (a) upanuzi wa halijoto isiyobadilika unaoongeza ujazo kuwa mara mbili; (b) upashaji joto kwa ujazo usiobadilika kutoka $300\ \mathrm K$ hadi $600\ \mathrm K$ ; (c) upanuzi (a) ukifuatiwa na upashaji joto (b). Imetolewa $R=8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ .

Kidokezo

Katika njia rejeshi,

\mathrm{d}S = \delta Q_{\text{rev}}/T

ambapo

\delta Q_{\text{rev}} = \mathrm{d}U + P\,\mathrm{d}V

. Tenganisha vigezo kwa kutumia mlinganyo wa hali.

S

ni dhima ya hali: badiliko lake halitegemei njia.

Jibu la kina

Suluhisho

Swali 1. Tuchague njia rejeshi kati ya hali hizo mbili. Kazi inayopokelewa na gesi ni

\delta W=-P\,\mathrm dV

. Kanuni ya kwanza inatoa

\mathrm dU=\delta Q_{\mathrm{rev}}-P\,\mathrm dV, \qquad \delta Q_{\mathrm{rev}}=\mathrm dU+P\,\mathrm dV.

Kwa moli $n$ , $\mathrm dU=nc_V\,\mathrm dT$ na $P=nRT/V$ . Kwa kuingiza milinganyo hii kisha kugawanya kwa $T$ ,

\mathrm dS=\frac{\delta Q_{\mathrm{rev}}}{T} =nc_V\frac{\mathrm dT}{T}+nR\frac{\mathrm dV}{V}.

Tunaweza kwanza kubadili halijoto kwa ujazo usiobadilika, kisha kubadili ujazo kwa halijoto isiyobadilika. Jumla ya integrali hizo mbili inatoa

\begin{aligned} \Delta S&=nc_V\int_{T_I}^{T_F}\frac{\mathrm dT}{T} +nR\int_{V_I}^{V_F}\frac{\mathrm dV}{V}\\ &=nc_V[\ln T]_{T_I}^{T_F}+nR[\ln V]_{V_I}^{V_F}\\ &=nc_V\ln\frac{T_F}{T_I}+nR\ln\frac{V_F}{V_I}. \end{aligned}

Entropy ni dhima ya hali: matokeo haya yanategemea hali ya mwanzo na ya mwisho tu. Kwa hiyo yanatumika pia kwa mchakato halisi usiorejeshi kati ya hali hizo, ingawa hatuwezi kuandika $\mathrm dS=\delta Q/T$ katika mchakato huo.

Swali 2. Kwa kiasi cha dutu kisichobadilika,

V=nRT/P

inatoa

\frac{V_F}{V_I}=\frac{T_F}{T_I}\frac{P_I}{P_F},\qquad \ln\frac{V_F}{V_I}=\ln\frac{T_F}{T_I}-\ln\frac{P_F}{P_I}.

Tukiingiza katika matokeo ya swali 1 na kukusanya sehemu za halijoto,

\Delta S=n(c_V+R)\ln\frac{T_F}{T_I}-nR\ln\frac{P_F}{P_I} =nc_P\ln\frac{T_F}{T_I}-nR\ln\frac{P_F}{P_I}.

Uhusiano wa Mayer umetumika katika umbo $c_V+R=c_P$ . Vilevile, $\mathrm dV/V=\mathrm dT/T-\mathrm dP/P$ , hivyo

\mathrm dS=nc_V\frac{\mathrm dT}{T} +nR\left(\frac{\mathrm dT}{T}-\frac{\mathrm dP}{P}\right) =nc_P\frac{\mathrm dT}{T}-nR\frac{\mathrm dP}{P}.

Swali 3. Tukiweka $\Delta S=0$ na kugawanya kwa $nc_V$ ,

\ln\frac{T_F}{T_I}+\frac{R}{c_V}\ln\frac{V_F}{V_I}=0.

Kwa $\gamma=c_P/c_V$ na $R/c_V=\gamma-1$ , sifa za logariti zinatoa

\ln\left[\frac{T_F}{T_I}\left(\frac{V_F}{V_I}\right)^{\gamma-1}\right]=0.

Kwa hiyo hoja ya logariti ni 1: $T_FV_F^{\gamma-1}=T_IV_I^{\gamma-1}$ , yaani $TV^{\gamma-1}=\mathrm{const}$ . Tukibadilisha $T$ kwa $PV/(nR)$ , tunapata pia $PV^\gamma=\mathrm{const}$ . Katika mchakato adiabati rejeshi, $\delta Q_{\mathrm{rev}}=0$ , hivyo $\mathrm dS=0$ katika kila hatua: entropy haibadiliki.

Swali 4. Kwa moli moja,

nc_V=3R/2

na

nR=R

. Katika (a),

T_F/T_I=1

na

V_F/V_I=2

:

\Delta S_a=\frac32R\ln1+R\ln2=R\ln2\simeq5{,}76\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Katika (b), $T_F/T_I=600/300=2$ na $V_F/V_I=1$ :

\Delta S_b=\frac32R\ln2+R\ln1\simeq8{,}64\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

Kwa michakato miwili inayofuatana, mabadiliko hujumlishwa: $\Delta S=\Delta S_a+\Delta S_b=(5/2)R\ln2\simeq14{,}4\ \mathrm{J\,K^{-1}}$ . Thamani za namba zinatumia $R=8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ .