Решённая задача по термодинамике

Работа и теплота при переходе между двумя состояниями по двум путям

Задача 11 · Урок 5 — Применение к идеальному газу

работа сил давления
теплота
изотерма
изохора
диаграмма Клапейрона
точный дифференциал
идеальный газ

Условие

Рассмотрим $n$ молей одноатомного идеального газа с внутренней энергией $U=\frac{3}{2}nRT$ . Состояние $A(T_1,V_1)$ соединяется с состоянием $B(T_2,V_2)$ двумя квазистатическими путями, причём в каждый момент $P_{\mathrm{ext}}=P$ :

$\Gamma_1$ : изотермическое расширение при $T_1$ от $V_1$ до $V_2$ , затем изохорный процесс при $V_2$ от $T_1$ до $T_2$ ;
$\Gamma_2$ : изохорный процесс при $V_1$ от $T_1$ до $T_2$ , затем изотермическое расширение при $T_2$ от $V_1$ до $V_2$ .

Для случая $T_2>T_1$ и $V_2>V_1$ изобразить пути $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ на диаграмме Клапейрона $(P,V)$ . Указать промежуточные состояния и направление движения.
Вычислить работу $W_1$ и $W_2$ , полученную газом вдоль каждого из двух путей. Чему равна их разность $W_1-W_2$ ?
Не вычисляя оба интеграла повторно, получить геометрически $W_1-W_2$ из площади между двумя путями на диаграмме Клапейрона.
Вычислить $\Delta U$ вдоль каждого из двух путей, а затем определить $Q_1$ и $Q_2$ . Сделать вывод о природе $\delta Q$ .
Численное приложение: $n=1$ моль, $T_1=300$ K, $T_2=600$ K и $V_2=2V_1$ .

Подсказка

На диаграмме Клапейрона изохора является вертикальной линией, а изотерма идеального газа удовлетворяет уравнению

P=nRT/V

. Изотерма с температурой

T_2

расположена выше изотермы с температурой

T_1

. Изохорный процесс не даёт вклада в работу сил давления. В вопросе 3 работа, полученная газом, равна взятой с противоположным знаком алгебраической площади под кривой процесса на диаграмме

(P,V)

Подробное решение

Решение

Вопрос 1. Обозначим через

C

промежуточное состояние пути

\Gamma_1

, а через

D

— промежуточное состояние пути

\Gamma_2

. Их давления и объёмы равны

\begin{aligned} A&=\left(\frac{nRT_1}{V_1},V_1\right),& C&=\left(\frac{nRT_1}{V_2},V_2\right),\\ D&=\left(\frac{nRT_2}{V_1},V_1\right),& B&=\left(\frac{nRT_2}{V_2},V_2\right). \end{aligned}

Поскольку $T_2>T_1$ , изотерма $T_2$ расположена выше изотермы $T_1$ . Путь $\Gamma_1$ идёт из $A$ в $C$ вправо вдоль нижней изотермы $T_1$ , а затем вертикально из $C$ в $B$ вдоль изохоры $V_2$ . Путь $\Gamma_2$ сначала поднимается вертикально из $A$ в $D$ вдоль изохоры $V_1$ , а затем идёт вправо из $D$ в $B$ вдоль верхней изотермы $T_2$ . Поэтому направления двух путей имеют вид

\Gamma_1:A\xrightarrow{\,T=T_1\,}C\xrightarrow{\,V=V_2\,}B, \qquad \Gamma_2:A\xrightarrow{\,V=V_1\,}D\xrightarrow{\,T=T_2\,}B.

Пути _1 и _2 на диаграмме Клапейрона. Серыми кривыми показаны продолжения изотерм T_1 и T_2. — Рисунок 1. Пути $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$ на диаграмме Клапейрона. Серыми кривыми показаны продолжения изотерм $T_1$ и $T_2$ .

Вопрос 2. При использовании правила знаков для работы, полученной газом, $\delta W=-P\,\mathrm{d}V$ . Изохорный процесс не даёт вклада, а на изотерме с температурой $T$

W=-\int_{V_1}^{V_2}\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V =-nRT\ln\frac{V_2}{V_1}.

Таким образом,

W_1=-nRT_1\ln\frac{V_2}{V_1}, \qquad W_2=-nRT_2\ln\frac{V_2}{V_1},

а затем

W_1-W_2 =nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}\neq 0.

Начальное и конечное состояния одинаковы, но работы различаются: $\delta W$ не является точным дифференциалом.

Вопрос 3. Изохоры не заметают никакой площади. Поскольку полученная работа равна взятой с противоположным знаком площади под кривой, разность $W_1-W_2$ равна площади между изотермами $T_2$ и $T_1$ :

W_1-W_2 =\int_{V_1}^{V_2}\left(\frac{nRT_2}{V}-\frac{nRT_1}{V}\right)\mathrm{d}V =nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}>0.

Мы вновь получили результат вопроса 2.

Вопрос 4. Внутренняя энергия одноатомного идеального газа зависит только от температуры. Поэтому её изменение одинаково для обоих путей:

\Delta U=U_B-U_A=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1).

Первый закон термодинамики, $\Delta U=W+Q$ , даёт $Q=\Delta U-W$ , откуда

\begin{aligned} Q_1&=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1) +nRT_1\ln\frac{V_2}{V_1},\\ Q_2&=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1) +nRT_2\ln\frac{V_2}{V_1}. \end{aligned}

Таким образом,

Q_2-Q_1=nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}\neq 0.

Переданная теплота также зависит от пути: $\delta Q$ не является точным дифференциалом, в отличие от $\mathrm{d}U$ .

Вопрос 5. При $\ln 2\simeq0{,}693$

\begin{aligned} W_1&\simeq-1{,}73\ \mathrm{kJ},& W_2&\simeq-3{,}46\ \mathrm{kJ},\\ \Delta U&\simeq3{,}74\ \mathrm{kJ},& Q_1&\simeq5{,}47\ \mathrm{kJ},& Q_2&\simeq7{,}20\ \mathrm{kJ}. \end{aligned}

На пути $\Gamma_2$ газ совершает вдвое большую работу и получает соответствующее дополнительное количество теплоты.