Решённая задача по термодинамике

Работа и теплота при переходе между двумя состояниями по двум путям

Задача 19 · Урок 5 — Применение к идеальному газу

работа сил давления
теплота
изотерма
изохора
диаграмма Клапейрона
точный дифференциал
идеальный газ

Условие

Рассмотрим $n$ молей одноатомного идеального газа с внутренней энергией $U = \frac{3}{2} n R T$ . Состояние $A (T_{1}, V_{1})$ соединяется с состоянием $B (T_{2}, V_{2})$ двумя квазистатическими путями, причём в каждый момент $P_{ext} = P$ :

$Γ_{1}$ : изотермическое расширение при $T_{1}$ от $V_{1}$ до $V_{2}$ , затем изохорный процесс при $V_{2}$ от $T_{1}$ до $T_{2}$ ;
$Γ_{2}$ : изохорный процесс при $V_{1}$ от $T_{1}$ до $T_{2}$ , затем изотермическое расширение при $T_{2}$ от $V_{1}$ до $V_{2}$ .

Для случая $T_{2} > T_{1}$ и $V_{2} > V_{1}$ изобразить пути $Γ_{1}$ и $Γ_{2}$ на диаграмме Клапейрона $(P, V)$ . Указать промежуточные состояния и направление движения.
Вычислить работу $W_{1}$ и $W_{2}$ , полученную газом вдоль каждого из двух путей. Чему равна их разность $W_{1} - W_{2}$ ?
Не вычисляя оба интеграла повторно, получить геометрически $W_{1} - W_{2}$ из площади между двумя путями на диаграмме Клапейрона.
Вычислить $Δ U$ вдоль каждого из двух путей, а затем определить $Q_{1}$ и $Q_{2}$ . Сделать вывод о природе $δ Q$ .
Численное приложение: $n = 1$ моль, $T_{1} = 300$ K, $T_{2} = 600$ K и $V_{2} = 2 V_{1}$ .

Подсказка

На диаграмме Клапейрона изохора является вертикальной линией, а изотерма идеального газа удовлетворяет уравнению

P = n R T / V

. Изотерма с температурой

T_{2}

расположена выше изотермы с температурой

T_{1}

. Изохорный процесс не даёт вклада в работу сил давления. В вопросе 3 работа, полученная газом, равна взятой с противоположным знаком алгебраической площади под кривой процесса на диаграмме

(P, V)

Подробное решение

Решение

Вопрос 1. Обозначим через

C

промежуточное состояние пути

Γ_{1}

, а через

D

— промежуточное состояние пути

Γ_{2}

. Их давления и объёмы равны

A D = (\frac{n R T _{1}}{V _{1}}, V_{1}), = (\frac{n R T _{2}}{V _{1}}, V_{1}), C B = (\frac{n R T _{1}}{V _{2}}, V_{2}), = (\frac{n R T _{2}}{V _{2}}, V_{2}) .

Поскольку $T_{2} > T_{1}$ , изотерма $T_{2}$ расположена выше изотермы $T_{1}$ . Путь $Γ_{1}$ идёт из $A$ в $C$ вправо вдоль нижней изотермы $T_{1}$ , а затем вертикально из $C$ в $B$ вдоль изохоры $V_{2}$ . Путь $Γ_{2}$ сначала поднимается вертикально из $A$ в $D$ вдоль изохоры $V_{1}$ , а затем идёт вправо из $D$ в $B$ вдоль верхней изотермы $T_{2}$ . Поэтому направления двух путей имеют вид

Γ_{1} : A T = T_{1} C V = V_{2} B, Γ_{2} : A V = V_{1} D T = T_{2} B .

Пути _1 и _2 на диаграмме Клапейрона. Серыми кривыми показаны продолжения изотерм T_1 и T_2. — Рисунок 1. Пути $Γ_{1}$ и $Γ_{2}$ на диаграмме Клапейрона. Серыми кривыми показаны продолжения изотерм $T_{1}$ и $T_{2}$ .

Вопрос 2. При использовании правила знаков для работы, полученной газом, $δ W = - P d V$ . Изохорный процесс не даёт вклада, а на изотерме с температурой $T$

W = - \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{n R T}{V} d V = - n R T ln \frac{V _{2}}{V _{1}} .

Таким образом,

W_{1} = - n R T_{1} ln \frac{V _{2}}{V _{1}}, W_{2} = - n R T_{2} ln \frac{V _{2}}{V _{1}},

а затем

W_{1} - W_{2} = n R (T_{2} - T_{1}) ln \frac{V _{2}}{V _{1}} \neq = 0.

Начальное и конечное состояния одинаковы, но работы различаются: $δ W$ не является точным дифференциалом.

Вопрос 3. Изохоры не заметают никакой площади. Поскольку полученная работа равна взятой с противоположным знаком площади под кривой, разность

W_{1} - W_{2}

равна площади между изотермами

T_{2}

T_{1}

W_{1} - W_{2} = \int_{V_{1}}^{V_{2}} (\frac{n R T _{2}}{V} - \frac{n R T _{1}}{V}) d V = n R (T_{2} - T_{1}) ln \frac{V _{2}}{V _{1}} > 0.

Мы вновь получили результат вопроса 2.

Вопрос 4. Внутренняя энергия одноатомного идеального газа зависит только от температуры. Поэтому её изменение одинаково для обоих путей:

Δ U = U_{B} - U_{A} = \frac{3}{2} n R (T_{2} - T_{1}) .

Первый закон термодинамики, $Δ U = W + Q$ , даёт $Q = Δ U - W$ , откуда

Q_{1} Q_{2} = \frac{3}{2} n R (T_{2} - T_{1}) + n R T_{1} ln \frac{V _{2}}{V _{1}}, = \frac{3}{2} n R (T_{2} - T_{1}) + n R T_{2} ln \frac{V _{2}}{V _{1}} .

Таким образом,

Q_{2} - Q_{1} = n R (T_{2} - T_{1}) ln \frac{V _{2}}{V _{1}} \neq = 0.

Переданная теплота также зависит от пути: $δ Q$ не является точным дифференциалом, в отличие от $d U$ .

Вопрос 5. При

ln 2 ≃ 0, 693

W_{1} Δ U ≃ - 1, 73 kJ, ≃ 3, 74 kJ, W_{2} Q_{1} ≃ - 3, 46 kJ, ≃ 5, 47 kJ, Q_{2} ≃ 7, 20 kJ .

На пути $Γ_{2}$ газ совершает вдвое большую работу и получает соответствующее дополнительное количество теплоты.