Решённая задача по термодинамике

Учебное упражнение: законы Лапласа

Задача 10 · Урок 5 — Применение к идеальному газу

  • учебное упражнение
  • закон Лапласа
  • показатель адиабаты
  • гамма
  • адиабатическое расширение
  • дифференциальная форма первого закона термодинамики

Условие

Рассмотрим nn молей идеального газа с постоянным показателем адиабаты γ=cP/cV\gamma = c_P/c_V. Система считается закрытой. Будем считать известным соотношение Майера cP−cV=Rc_P - c_V = R (см. упражнение об определении cPc_P).

  1. Показать, что cV=Rγ−1,cP=γRγ−1.c_V = \frac{R}{\gamma - 1}, \qquad c_P = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}.
  2. Газ совершает квазистатический адиабатический процесс, для которого предполагается Pext=PP_{\text{ext}} = P. Исходя из дифференциальной формы первого закона термодинамики, показать, что dTT+(γ−1)dVV=0,\frac{\mathrm{d}T}{T} + (\gamma - 1)\frac{\mathrm{d}V}{V} = 0, а затем вывести, что вдоль процесса TVγ−1=constTV^{\gamma-1} = \text{const}.
  3. Вывести две другие формы закона Лапласа: PVγ=constPV^\gamma = \text{const} и TγP1−γ=constT^\gamma P^{1-\gamma} = \text{const}.
  4. Рассмотрим такое расширение одноатомного газа (γ=5/3\gamma = 5/3), при котором его объём удваивается; n=1n = 1 моль, начальная температура Ti=300T_i = 300 K. Вычислить TfT_f, затем ΔT\Delta T и WW и прокомментировать знаки ΔT\Delta T и WW.
  5. На диаграмме Клапейрона (P,V)(P,V) сравнить в одной и той же точке наклон такой адиабаты и наклон изотермы.

Подсказка
Для вопроса 2: dU=ncV dT\mathrm{d}U = n c_V\,\mathrm{d}T и δW=−P dV\delta W = -P\,\mathrm{d}V при P=nRT/VP = nRT/V, затем разделить переменные. Для вопроса 5 продифференцировать PVγ=constPV^\gamma = \text{const} и PV=constPV = \text{const}.

Подробное решение

Решение
Вопрос 1. Из cP=γcVc_P = \gamma c_V и cP−cV=Rc_P - c_V = R получаем cV(γ−1)=Rc_V(\gamma - 1) = R, откуда следуют обе формулы.

Вопрос 2. Процесс адиабатический: δQ=0\delta Q = 0, поэтому dU=δW\mathrm{d}U = \delta W, то есть ncV dT=−P dV=−nRTVdVn c_V\,\mathrm{d}T = -P\,\mathrm{d}V = -\dfrac{nRT}{V}\mathrm{d}V. С учётом cV=R/(γ−1)c_V = R/(\gamma-1):

dTT=−(γ−1)dVV.\frac{\mathrm{d}T}{T} = -(\gamma-1)\frac{\mathrm{d}V}{V}.

После интегрирования: ln⁡T+(γ−1)ln⁡V=const\ln T + (\gamma-1)\ln V = \text{const}, то есть TVγ−1=constTV^{\gamma-1} = \text{const}.

Вопрос 3. Подстановка T=PV/(nR)T = PV/(nR) даёт PVγ=constPV^\gamma = \text{const}, поскольку nn постоянно. Подставляя V=nRT/PV = nRT/P, получаем T(TP)γ−1=constT \left(\frac{T}{P}\right)^{\gamma-1} = \text{const}, а значит, TγP1−γ=constT^\gamma P^{1-\gamma} = \text{const}.

Вопрос 4. Проще всего использовать закон Лапласа TVγ−1=constT V^{\gamma - 1} = \text{const}, из которого следует: TiViγ−1=TfVfγ−1T_i V_i^{\gamma - 1} = T_f V_f^{\gamma - 1}, то есть Tf=Ti 2−(γ−1)=300×2−2/3≈189T_f = T_i\,2^{-(\gamma-1)} = 300 \times 2^{-2/3} \approx 189 K. Следует обратить внимание, что во избежание ошибки в этом расчёте температуру необходимо выражать в кельвинах! Отсюда ΔT=Tf−Ti≈−111\Delta T = T_f-T_i \approx -111 K. Для работы, поскольку Q=0Q = 0:

W=ΔU=32RΔT≈32×8,314×(−111)≈−1,4 kJ.W = \Delta U = \tfrac{3}{2}R\Delta T \approx \tfrac{3}{2}\times 8{,}314 \times (-111) \approx -1{,}4\ \text{kJ}.

W<0W < 0: при расширении газ совершает работу над внешней средой. Поскольку он не может получить эту энергию ни от какого источника теплоты (Q=0Q=0), она берётся из его внутренней энергии, что и приводит к охлаждению ΔT<0\Delta T < 0.

Вопрос 5. Дифференцируя PV=constPV = \text{const}, получаем: (dPdV)isoT=−PV\left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V}\right)_{\text{isoT}} = -\dfrac{P}{V}. Дифференцируя PVγ=constPV^\gamma = \text{const}, получаем: (dPdV)adiab=−γPV\left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V}\right)_{\text{adiab}} = -\gamma\dfrac{P}{V}. Адиабата в γ\gamma раз круче изотермы: при сжатии без отвода теплоты давление растёт быстрее, поскольку также повышается температура.