Решённая задача по термодинамике

Учебное упражнение: законы Лапласа

Задача 18 · Урок 5 — Применение к идеальному газу

учебное упражнение
закон Лапласа
показатель адиабаты
гамма
адиабатическое расширение
дифференциальная форма первого закона термодинамики

Условие

Рассмотрим $n$ молей идеального газа с постоянным показателем адиабаты $γ = c_{P} / c_{V}$ . Система считается закрытой. Будем считать известным соотношение Майера $c_{P} - c_{V} = R$ (см. упражнение об определении $c_{P}$ ).

Показать, что $c_{V} = \frac{R}{γ - 1}, c_{P} = \frac{γ R}{γ - 1} .$
Газ совершает квазистатический адиабатический процесс, для которого предполагается $P_{ext} = P$ . Исходя из дифференциальной формы первого закона термодинамики, показать, что $\frac{d T}{T} + (γ - 1) \frac{d V}{V} = 0,$ а затем вывести, что вдоль процесса $T V^{γ - 1} = const$ .
Вывести две другие формы закона Лапласа: $P V^{γ} = const$ и $T^{γ} P^{1 - γ} = const$ .
Рассмотрим такое расширение одноатомного газа ( $γ = 5/3$ ), при котором его объём удваивается; $n = 1$ моль, начальная температура $T_{i} = 300$ K. Вычислить $T_{f}$ , затем $Δ T$ и $W$ и прокомментировать знаки $Δ T$ и $W$ .
На диаграмме Клапейрона $(P, V)$ сравнить в одной и той же точке наклон такой адиабаты и наклон изотермы.

Подсказка

Для вопроса 2:

d U = n c_{V} d T

δ W = - P d V

при

P = n R T / V

, затем разделить переменные. Для вопроса 5 продифференцировать

P V^{γ} = const

P V = const

Подробное решение

Решение

Вопрос 1. Из

c_{P} = γ c_{V}

c_{P} - c_{V} = R

получаем

c_{V} (γ - 1) = R

, откуда следуют обе формулы. Вопрос 2. Процесс адиабатический:

δ Q = 0

, поэтому

d U = δ W

, то есть

n c_{V} d T = - P d V = - \frac{n R T}{V} d V

. С учётом

c_{V} = R / (γ - 1)

\frac{d T}{T} = - (γ - 1) \frac{d V}{V} .

После интегрирования: $ln T + (γ - 1) ln V = const$ , то есть $T V^{γ - 1} = const$ .

Вопрос 3. Подстановка

T = P V / (n R)

даёт

P V^{γ} = const

, поскольку

n

постоянно. Подставляя

V = n R T / P

, получаем

T (\frac{T}{P})^{γ - 1} = const

, а значит,

T^{γ} P^{1 - γ} = const

. Вопрос 4. Проще всего использовать закон Лапласа

T V^{γ - 1} = const

, из которого следует:

T_{i} V_{i}^{γ - 1} = T_{f} V_{f}^{γ - 1}

, то есть

T_{f} = T_{i} 2^{- (γ - 1)} = 300 \times 2^{- 2/3} \approx 189

K. Следует обратить внимание, что во избежание ошибки в этом расчёте температуру необходимо выражать в кельвинах! Отсюда

Δ T = T_{f} - T_{i} \approx - 111

K. Для работы, поскольку

Q = 0

W = Δ U = \frac{3}{2} R Δ T \approx \frac{3}{2} \times 8, 314 \times (- 111) \approx - 1, 4 kJ .

$W < 0$ : при расширении газ совершает работу над внешней средой. Поскольку он не может получить эту энергию ни от какого источника теплоты ( $Q = 0$ ), она берётся из его внутренней энергии, что и приводит к охлаждению $Δ T < 0$ .

Вопрос 5. Дифференцируя

P V = const

, получаем:

(\frac{d P}{d V})_{isoT} = - \frac{P}{V}

. Дифференцируя

P V^{γ} = const

, получаем:

(\frac{d P}{d V})_{adiab} = - γ \frac{P}{V}

. Адиабата в

γ

раз круче изотермы: при сжатии без отвода теплоты давление растёт быстрее, поскольку также повышается температура.