Решённая задача по термодинамике

Треугольный цикл

Задача 12 · Урок 5 — Применение к идеальному газу

цикл теплового двигателя
диаграмма Клапейрона
площадь цикла
первый закон термодинамики
КПД

Условие

Рассмотрим $n$ молей идеального газа с постоянной молярной теплоёмкостью $c_V$ , совершающего квазистатический цикл $A\to B\to C\to A$ , где

A=(P_0,V_0), \qquad B=(2P_0,V_0), \qquad C=(P_0,2V_0).

Участок $A\to B$ является изохорным, участок $B\to C$ представляет собой отрезок прямой на плоскости $(P,V)$ , а участок $C\to A$ является изобарным.

Для цикла теплового двигателя КПД определяется как

\eta=\frac{W_{\mathrm{fourni}}}{Q_{\mathrm{in}}} =\frac{-W_{\mathrm{cycle}}}{Q_{\mathrm{in}}},

где $Q_{\mathrm{in}}$ — сумма элементарных количеств теплоты $\delta Q>0$ , полученных газом в течение цикла.

Изобразить цикл на диаграмме Клапейрона и указать направление его обхода. Является ли он циклом теплового двигателя или холодильным циклом?
Определить уравнение $P(V)$ прямой, соединяющей $B$ и $C$ .
Положив $T_0=P_0V_0/(nR)$ , определить температуры $T_A$ , $T_B$ и $T_C$ . Почему $\Delta U_{B\to C}$ равно нулю, хотя этот участок не является изотермическим?
Вычислить работу, полученную на каждом из трёх участков, а затем за полный цикл. Получить абсолютную величину полной работы из площади треугольника.
Вычислить $\Delta U$ и $Q$ на каждом участке только через $P_0$ , $V_0$ и $c_V$ , а затем проверить, что $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$ и $Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}$ .
Положив $a = \frac{c_V}{R} >1$ и $x = V/V_0$ , показать, что знак $\delta Q$ меняется в некоторой точке участка $B\to C$ . Отсюда определить $Q_{\mathrm{in}}$ , а затем КПД $\eta$ этого цикла. Найти его значение для одноатомного идеального газа, для которого $c_V=\frac32R$ .

Подсказка

На участке

B\to C

искать

P(V)=aV+b

, потребовав, чтобы прямая проходила через

B

C

. Для вычисления изменения внутренней энергии достаточно знать температуры на концах участка. В вопросе 6 использовать первый закон термодинамики в дифференциальной форме.

Подробное решение

Решение

Вопросы 1—2. Цикл обходится по часовой стрелке и является циклом теплового двигателя. Уравнение прямой

B\to C

имеет вид

P(V)=P_0\left(3-\frac{V}{V_0}\right).

Треугольный цикл A B C A на диаграмме Клапейрона. — Рисунок 1. Треугольный цикл $A\to B\to C\to A$ на диаграмме Клапейрона.

Вопрос 3. Уравнение состояния даёт

T_A=T_0, \qquad T_B=T_C=2T_0.

Температура изменяется вдоль участка $B\to C$ , но на обоих его концах имеет одно и то же значение. Поскольку внутренняя энергия идеального газа при фиксированном количестве вещества зависит только от температуры, $\Delta U_{B\to C}=0$ .

Вопрос 4. Полученные работы равны

W_{AB}=0, \qquad W_{BC}=-\int_{V_0}^{2V_0}P(V)\,dV=-\frac32P_0V_0, \qquad W_{CA}=-P_0 \Delta V = P_0V_0.

Следовательно,

\boxed{W_{\mathrm{cycle}}=-\frac12P_0V_0}.

Знак отрицателен: в течение цикла газ совершает работу. Её абсолютная величина действительно равна площади прямоугольного треугольника с основанием $V_0$ и высотой $P_0$ : $A=\frac12\text{основание}\times\text{высота}$ .

Вопрос 5. Поскольку $nRT_0=P_0V_0$ ,

\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{Участок} & W & \Delta U & Q=\Delta U-W\\ \hline A\to B & 0 & \dfrac{c_V}{R}P_0V_0 & \dfrac{c_V}{R}P_0V_0\\[4pt] B\to C & -\dfrac32P_0V_0 & 0 & \dfrac32P_0V_0\\[4pt] C\to A & P_0V_0 & -\dfrac{c_V}{R}P_0V_0 & -\left(\dfrac{c_V}{R}+1\right)P_0V_0 \end{array} \end{aligned}

Суммируя по трём участкам, получаем

\boxed{ \Delta U_{\mathrm{cycle}}=0, \qquad Q_{\mathrm{cycle}}=\frac12P_0V_0=-W_{\mathrm{cycle}}. }

Вопрос 6. Положим $a=c_V/R$ и $x=V/V_0$ . На участке $B\to C$ имеем $P=P_0(3-x)$ и $T=T_0(3x-x^2)$ . Первый закон термодинамики даёт

\delta Q=\mathrm{d}U-\delta W =P_0V_0\left[3(a+1)-(2a+1)x\right]\mathrm{d}x.

Это элементарное количество теплоты обращается в нуль при

x_\star=\frac{3(a+1)}{2a+1}.

При $a>1$ выполняется $1<x_\star<2$ : газ получает теплоту от $B$ до точки с абсциссой $x_\star$ , а затем отдаёт её до точки $C$ . Он также получает теплоту $Q_{AB}=aP_0V_0$ на участке $A\to B$ . Следовательно,

\begin{aligned} Q_{\mathrm{in}} &=P_0V_0\left[ a+\int_1^{x_\star}\left(3(a+1)-(2a+1)x\right)\mathrm{d}x \right]\\ &=P_0V_0\left[a+\frac{(a+2)^2}{2(2a+1)}\right]. \end{aligned}

Поэтому КПД равен

\boxed{ \eta =\frac{\frac12P_0V_0}{Q_{\mathrm{in}}} =\frac{2a+1}{5a^2+6a+4}, \qquad a=\frac{c_V}{R}. }

Для одноатомного идеального газа $a=\frac32$ , откуда

\eta=\frac{16}{97}\simeq16{,}5\,\%.