Решённая задача по термодинамике

Треугольный цикл

Задача 20 · Урок 5 — Применение к идеальному газу

цикл теплового двигателя
диаграмма Клапейрона
площадь цикла
первый закон термодинамики
КПД

Условие

Рассмотрим $n$ молей идеального газа с постоянной молярной теплоёмкостью $c_{V}$ , совершающего квазистатический цикл $A \to B \to C \to A$ , где

A = (P_{0}, V_{0}), B = (2 P_{0}, V_{0}), C = (P_{0}, 2 V_{0}) .

Участок $A \to B$ является изохорным, участок $B \to C$ представляет собой отрезок прямой на плоскости $(P, V)$ , а участок $C \to A$ является изобарным.

Для цикла теплового двигателя КПД определяется как

η = \frac{W _{out}}{Q _{in}} = \frac{- W _{cycle}}{Q _{in}},

где $Q_{in}$ — сумма элементарных количеств теплоты $δ Q > 0$ , полученных газом в течение цикла.

Изобразить цикл на диаграмме Клапейрона и указать направление его обхода. Является ли он циклом теплового двигателя или холодильным циклом?
Определить уравнение $P (V)$ прямой, соединяющей $B$ и $C$ .
Положив $T_{0} = P_{0} V_{0} / (n R)$ , определить температуры $T_{A}$ , $T_{B}$ и $T_{C}$ . Почему $Δ U_{B \to C}$ равно нулю, хотя этот участок не является изотермическим?
Вычислить работу, полученную на каждом из трёх участков, а затем за полный цикл. Получить абсолютную величину полной работы из площади треугольника.
Вычислить $Δ U$ и $Q$ на каждом участке только через $P_{0}$ , $V_{0}$ и $c_{V}$ , а затем проверить, что $Δ U_{cycle} = 0$ и $Q_{cycle} = - W_{cycle}$ .
Положив $a = \frac{c _{V}}{R} > 1$ и $x = V / V_{0}$ , показать, что знак $δ Q$ меняется в некоторой точке участка $B \to C$ . Отсюда определить $Q_{in}$ , а затем КПД $η$ этого цикла. Найти его значение для одноатомного идеального газа, для которого $c_{V} = \frac{3}{2} R$ .

Подсказка

На участке

B \to C

искать

P (V) = aV + b

, потребовав, чтобы прямая проходила через

B

C

. Для вычисления изменения внутренней энергии достаточно знать температуры на концах участка. В вопросе 6 использовать первый закон термодинамики в дифференциальной форме.

Подробное решение

Решение

Вопросы 1–2. Цикл обходится по часовой стрелке и является циклом теплового двигателя. Уравнение прямой

B \to C

имеет вид

P (V) = P_{0} (3 - \frac{V}{V _{0}}) .

Треугольный цикл A B C A на диаграмме Клапейрона. — Рисунок 1. Треугольный цикл $A \to B \to C \to A$ на диаграмме Клапейрона.

Вопрос 3. Уравнение состояния даёт

T_{A} = T_{0}, T_{B} = T_{C} = 2 T_{0} .

Температура изменяется вдоль участка $B \to C$ , но на обоих его концах имеет одно и то же значение. Поскольку внутренняя энергия идеального газа при фиксированном количестве вещества зависит только от температуры, $Δ U_{B \to C} = 0$ .

Вопрос 4. Полученные работы равны

W_{A B} = 0, W_{B C} = - \int_{V_{0}}^{2 V_{0}} P (V) d V = - \frac{3}{2} P_{0} V_{0}, W_{C A} = - P_{0} Δ V = P_{0} V_{0} .

Следовательно,

W_{cycle} = - \frac{1}{2} P_{0} V_{0}

Знак отрицателен: в течение цикла газ совершает работу. Её абсолютная величина действительно равна площади прямоугольного треугольника с основанием $V_{0}$ и высотой $P_{0}$ : $A = \frac{1}{2} основание \times высота$ .

Вопрос 5. Поскольку

n R T_{0} = P_{0} V_{0}

Участок A \to B B \to C C \to A W 0 - \frac{3}{2} P_{0} V_{0} P_{0} V_{0} Δ U \frac{c _{V}}{R} P_{0} V_{0} 0 - \frac{c _{V}}{R} P_{0} V_{0} Q = Δ U - W \frac{c _{V}}{R} P_{0} V_{0} \frac{3}{2} P_{0} V_{0} - (\frac{c _{V}}{R} + 1) P_{0} V_{0}

Суммируя по трём участкам, получаем

Δ U_{cycle} = 0, Q_{cycle} = \frac{1}{2} P_{0} V_{0} = - W_{cycle}

Вопрос 6. Положим $a = c_{V} / R$ и $x = V / V_{0}$ . На участке $B \to C$ имеем $P = P_{0} (3 - x)$ и $T = T_{0} (3 x - x^{2})$ . Первый закон термодинамики даёт

δ Q = d U - δ W = P_{0} V_{0} [3 (a + 1) - (2 a + 1) x] d x .

Это элементарное количество теплоты обращается в нуль при

x_{⋆} = \frac{3 ( a + 1 )}{2 a + 1} .

При $a > 1$ выполняется $1 < x_{⋆} < 2$ : газ получает теплоту от $B$ до точки с абсциссой $x_{⋆}$ , а затем отдаёт её до точки $C$ . Он также получает теплоту $Q_{A B} = a P_{0} V_{0}$ на участке $A \to B$ . Следовательно,

Q_{in} = P_{0} V_{0} [a + \int_{1}^{x_{⋆}} (3 (a + 1) - (2 a + 1) x) d x] = P_{0} V_{0} [a + \frac{( a + 2 ) ^{2}}{2 ( 2 a + 1 )}] .

Поэтому КПД равен

η = \frac{\frac{1}{2} P _{0} V _{0}}{Q _{in}} = \frac{2 a + 1}{5 a ^{2} + 6 a + 4}, a = \frac{c _{V}}{R}

Для одноатомного идеального газа $a = \frac{3}{2}$ , откуда

η = \frac{16}{97} ≃ 16, 5 %.