Работа в политропном процессе $PV^k=\text{const}$

Вопрос 1. Политропное соотношение записывается в виде

$$PV^k=C, \qquad P(V)=CV^{-k}, \qquad C=P_AV_A^k=P_BV_B^k.$$

Согласно банковскому правилу знаков работа, полученная газом, равна

$$W_{A\to B} =-\int_{V_A}^{V_B}P(V)\,\mathrm{d}V =-C\int_{V_A}^{V_B}V^{-k}\,\mathrm{d}V.$$

При $k\neq1$ первообразной функции $V^{-k}$ является $V^{1-k}/(1-k)$. Поэтому

$$W_{A\to B} =-\frac{C}{1-k} \left(V_B^{1-k}-V_A^{1-k}\right) =\frac{CV_A^{1-k}-CV_B^{1-k}}{1-k}.$$

Но

$$CV_A^{1-k}=P_AV_A, \qquad CV_B^{1-k}=P_BV_B.$$

Окончательно,

$$\boxed{ W_{A\to B} =\frac{P_AV_A-P_BV_B}{1-k} =\frac{P_BV_B-P_AV_A}{k-1} }.$$

Вопрос 2. При $k=0$ соотношение $PV^0=C$ принимает вид $P=C$: процесс является изобарным. Поскольку $P_A=P_B=P$,

$$W_{A\to B} =P_AV_A-P_BV_B =P(V_A-V_B) =-P(V_B-V_A) =-P\Delta V.$$

Мы получили прямое выражение для работы при изобарном процессе.

Вопрос 3. При изохорном процессе $V_B=V_A$ и в каждый момент $\mathrm{d}V=0$. Следовательно,

$$W_{A\to B}=-\int_A^B P\,\mathrm{d}V=0.$$

Нетривиальному изохорному процессу не соответствует никакое конечное значение $k$: если $V$ постоянно, соотношение $PV^k=\text{const}$ также потребовало бы постоянства $P$. Изохорный процесс можно рассматривать лишь как формальный предел $k\to\infty$.

Вопрос 4. При $k=1$ подынтегральная функция пропорциональна $1/V$: первообразной теперь является не степенная функция, а логарифм. Поэтому интегрирование необходимо выполнить отдельно. Политропное соотношение принимает вид

$$PV=C.$$

Для закрытой системы с идеальным газом $PV=nRT$; следовательно, температура постоянна и $C=nRT$. Тогда полученная работа равна

$$W_{A\to B} =-\int_{V_A}^{V_B}\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V =-nRT\ln\!\left(\frac{V_B}{V_A}\right).$$

При сжатии $V_B/V_A<1$, поэтому логарифм отрицателен и $W_{A\to B}>0$, как и ожидалось.