Решённая задача по термодинамике

Работа в политропном процессе $P V^{k} = const$

Задача 22 · Урок 5 — Применение к идеальному газу

политропный процесс
работа сил давления
закон Лапласа

Условие

Рассмотрим квазистатический процесс идеального газа, для которого $P V^{k} = const$ , где $k \in R$ и $k \neq = 1$ .

Вычислить $W_{A \to B}$ через $P_{A}, V_{A}, P_{B}, V_{B}$ и $k$ .
Получить результат для изобарного процесса ( $k = 0$ ).
Чему равна работа для изохорного процесса (не используя предыдущую формулу)?
Что происходит при $k = 1$ ? Получить $W = - n R T ln (V_{B} / V_{A})$ .

Подсказка

Положить

P (V) = C V^{- k}

, где

C = P_{A} V_{A}^{k}

, выполнить интегрирование, а затем использовать

C V^{1 - k} = P V

Подробное решение

Решение

Вопрос 1. Политропное соотношение записывается в виде

P V^{k} = C, P (V) = C V^{- k}, C = P_{A} V_{A}^{k} = P_{B} V_{B}^{k} .

Согласно банковскому правилу знаков работа, полученная газом, равна

W_{A \to B} = - \int_{V_{A}}^{V_{B}} P (V) d V = - C \int_{V_{A}}^{V_{B}} V^{- k} d V .

При $k \neq = 1$ первообразной функции $V^{- k}$ является $V^{1 - k} / (1 - k)$ . Поэтому

W_{A \to B} = - \frac{C}{1 - k} (V_{B}^{1 - k} - V_{A}^{1 - k}) = \frac{C V _{A}^{1 - k} - C V _{B}^{1 - k}}{1 - k} .

Но

C V_{A}^{1 - k} = P_{A} V_{A}, C V_{B}^{1 - k} = P_{B} V_{B} .

Окончательно,

W_{A \to B} = \frac{P _{A} V _{A} - P _{B} V _{B}}{1 - k} = \frac{P _{B} V _{B} - P _{A} V _{A}}{k - 1}

Вопрос 2. При $k = 0$ соотношение $P V^{0} = C$ принимает вид $P = C$ : процесс является изобарным. Поскольку $P_{A} = P_{B} = P$ ,

W_{A \to B} = P_{A} V_{A} - P_{B} V_{B} = P (V_{A} - V_{B}) = - P (V_{B} - V_{A}) = - P Δ V .

Мы получили прямое выражение для работы при изобарном процессе.

Вопрос 3. При изохорном процессе

V_{B} = V_{A}

и в каждый момент

d V = 0

. Следовательно,

W_{A \to B} = - \int_{A}^{B} P d V = 0.

Нетривиальному изохорному процессу не соответствует никакое конечное значение $k$ : если $V$ постоянно, соотношение $P V^{k} = const$ также потребовало бы постоянства $P$ . Изохорный процесс можно рассматривать лишь как формальный предел $k \to \infty$ .

Вопрос 4. При

k = 1

подынтегральная функция пропорциональна

1/ V

: первообразной теперь является не степенная функция, а логарифм. Поэтому интегрирование необходимо выполнить отдельно. Политропное соотношение принимает вид

P V = C .

Для закрытой системы с идеальным газом $P V = n R T$ ; следовательно, температура постоянна и $C = n R T$ . Тогда полученная работа равна

W_{A \to B} = - \int_{V_{A}}^{V_{B}} \frac{n R T}{V} d V = - n R T ln (\frac{V _{B}}{V _{A}}) .

При сжатии $V_{B} / V_{A} < 1$ , поэтому логарифм отрицателен и $W_{A \to B} > 0$ , как и ожидалось.