Решённая задача по термодинамике

Нагревание при постоянном давлении: определение cPc_P

Задача 13 · Урок 5 — Применение к идеальному газу

  • теплоёмкость
  • постоянное давление
  • соотношение Майера
  • изобарное нагревание
  • идеальный газ

Условие

Один моль идеального газа с молярной теплоёмкостью cVc_V заключён в цилиндр с начальным объёмом V0V_0. Цилиндр закрыт подвижным адиабатическим поршнем без трения, находящимся под постоянным внешним давлением P0P_0. Находящийся внутри газа электрический нагреватель квазистатически передаёт ему теплоту Q>0Q>0.

  1. Изобразить простую схему устройства. Указать газ, поршень, нагреватель, внешнее давление P0P_0 и потоки энергии.
  2. Не используя численных значений, выразить начальную температуру T0T_0, а затем определить конечное состояние (Pf,Vf,Tf)(P_f,V_f,T_f), работу WW, полученную газом, и изменение его внутренней энергии ΔU\Delta U.
  3. Вывести молярную теплоёмкость при постоянном давлении cP=(δQ/dT)Pc_P=(\delta Q/\mathrm{d}T)_P через cVc_V и RR.
  4. Численное приложение для одноатомного идеального газа: cV=32Rc_V=\frac32R, V0=25 LV_0=25\ \mathrm{L}, P0=1,0×105 PaP_0=1{,}0\times10^5\ \mathrm{Pa}, Q=1000 JQ=1000\ \mathrm{J} и R=8,314 J mol−1 K−1R=8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

Подсказка
Процесс изобарный: W=−P0 ΔVW=-P_0\,\Delta V. Для одного моля идеального газа P0 ΔV=R ΔTP_0\,\Delta V=R\,\Delta T. Подставить эти соотношения в первый закон термодинамики.

Подробное решение

Решение
Вопрос 1. На схеме должен быть показан газ в цилиндре, закрытом подвижным поршнем. Стрелка внутри цилиндра обозначает теплоту QQ, переданную нагревателем. Внешнее давление P0P_0 действует на поршень, который перемещается вверх при расширении газа.

Вопрос 2. Начальное уравнение состояния даёт

T0=P0V0R.T_0=\frac{P_0V_0}{R}.

Давление остаётся постоянным, поэтому Pf=P0P_f=P_0. Кроме того, W=−P0ΔV=−RΔTW=-P_0\Delta V=-R\Delta T. Тогда первый закон термодинамики даёт

ΔU=cVΔT=Q+W=Q−RΔT,\Delta U=c_V\Delta T=Q+W=Q-R\Delta T,

откуда

ΔT=QcV+R.\Delta T=\frac{Q}{c_V+R}.

Таким образом, конечное состояние имеет вид

Pf=P0,Tf=T0+QcV+R,Vf=V0+RQP0(cV+R).P_f=P_0,\qquad T_f=T_0+\frac{Q}{c_V+R},\qquad V_f=V_0+\frac{RQ}{P_0(c_V+R)}.

Наконец,

W=−RQcV+R,ΔU=cVQcV+R.W=-\frac{RQ}{c_V+R}, \qquad \Delta U=\frac{c_VQ}{c_V+R}.

Вопрос 3. Поскольку при постоянном давлении Q=(cV+R)ΔTQ=(c_V+R)\Delta T,

cP=cV+R.c_P=c_V+R.

Это соотношение Майера.

Вопрос 4. Для одноатомного газа

cP=52R≃20,8 J mol−1 K−1.c_P=\frac52R\simeq20{,}8\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

Получаем

T0≃301 K,ΔT≃48,1 K,Tf≃349 K,Vf=29,0 L.T_0\simeq301\ \mathrm{K},\qquad \Delta T\simeq48{,}1\ \mathrm{K},\qquad T_f\simeq349\ \mathrm{K},\qquad V_f=29{,}0\ \mathrm{L}.

Наконец,

W=−400 J,ΔU=600 J.W=-400\ \mathrm{J},\qquad \Delta U=600\ \mathrm{J}.