Решённая задача по термодинамике

Нагревание при постоянном давлении: определение $c_{P}$

Задача 21 · Урок 5 — Применение к идеальному газу

теплоёмкость
постоянное давление
соотношение Майера
изобарное нагревание
идеальный газ

Условие

Один моль идеального газа с молярной теплоёмкостью $c_{V}$ заключён в цилиндр с начальным объёмом $V_{0}$ . Цилиндр закрыт подвижным адиабатическим поршнем без трения, находящимся под постоянным внешним давлением $P_{0}$ . Находящийся внутри газа электрический нагреватель квазистатически передаёт ему теплоту $Q > 0$ .

Изобразить простую схему устройства. Указать газ, поршень, нагреватель, внешнее давление $P_{0}$ и потоки энергии.
Не используя численных значений, выразить начальную температуру $T_{0}$ , а затем определить конечное состояние $(P_{f}, V_{f}, T_{f})$ , работу $W$ , полученную газом, и изменение его внутренней энергии $Δ U$ .
Вывести молярную теплоёмкость при постоянном давлении $c_{P} = (δ Q / d T)_{P}$ через $c_{V}$ и $R$ .
Численное приложение для одноатомного идеального газа: $c_{V} = \frac{3}{2} R$ , $V_{0} = 25 L$ , $P_{0} = 1, 0 \times 1 0^{5} Pa$ , $Q = 1000 J$ и $R = 8, 314 J mo l^{- 1} K^{- 1}$ .

Подсказка

Процесс изобарный:

W = - P_{0} Δ V

. Для одного моля идеального газа

P_{0} Δ V = R Δ T

. Подставить эти соотношения в первый закон термодинамики.

Подробное решение

Решение

Вопрос 1. На схеме должен быть показан газ в цилиндре, закрытом подвижным поршнем. Стрелка внутри цилиндра обозначает теплоту

Q

, переданную нагревателем. Внешнее давление

P_{0}

действует на поршень, который перемещается вверх при расширении газа. Вопрос 2. Начальное уравнение состояния даёт

T_{0} = \frac{P _{0} V _{0}}{R} .

Давление остаётся постоянным, поэтому $P_{f} = P_{0}$ . Кроме того, $W = - P_{0} Δ V = - R Δ T$ . Тогда первый закон термодинамики даёт

Δ U = c_{V} Δ T = Q + W = Q - R Δ T,

откуда

Δ T = \frac{Q}{c _{V} + R} .

Таким образом, конечное состояние имеет вид

P_{f} = P_{0}, T_{f} = T_{0} + \frac{Q}{c _{V} + R}, V_{f} = V_{0} + \frac{R Q}{P _{0} ( c _{V} + R )} .

Наконец,

W = - \frac{R Q}{c _{V} + R}, Δ U = \frac{c _{V} Q}{c _{V} + R} .

Вопрос 3. Поскольку при постоянном давлении $Q = (c_{V} + R) Δ T$ ,

c_{P} = c_{V} + R .

Это соотношение Майера.

Вопрос 4. Для одноатомного газа

c_{P} = \frac{5}{2} R ≃ 20, 8 J mo l^{- 1} K^{- 1} .

Получаем

T_{0} ≃ 301 K, Δ T ≃ 48, 1 K, T_{f} ≃ 349 K, V_{f} = 29, 0 L .

Наконец,

W = - 400 J, Δ U = 600 J .