Условие

Рассмотрим $n$ молей одноатомного идеального газа с $U=\frac{3}{2}nRT$ , квазистатически совершающего прямоугольный цикл против часовой стрелки

A(P_1,V_1)\to B(P_1,V_2)\to C(P_2,V_2) \to D(P_2,V_1)\to A,

где $V_2>V_1$ и $P_2>P_1$ . Обозначим

\Delta P=P_2-P_1>0, \qquad \Delta V=V_2-V_1>0.

Этот холодильный цикл используется как модель холодильной машины. Её холодильный коэффициент (COP) определяется как

\mathrm{COP}=\frac{Q_f}{W_{\mathrm{in}}} =\frac{Q_f}{W_{\mathrm{cycle}}},

где $Q_f>0$ — полная теплота, отобранная газом на участках, на которых он получает теплоту, а $W_{\mathrm{cycle}}>0$ — полученная им полная работа.

Изобразить цикл на диаграмме Клапейрона $(P,V)$ и указать тип каждого участка.
Вычислить полученную работу на каждом из четырёх участков через $\Delta V$ , когда изменяется объём, а затем полную работу через $\Delta P$ и $\Delta V$ . Получить её значение из площади прямоугольника.
Выразить $\Delta U$ и $Q$ на каждом участке через $P_1$ , $P_2$ , $V_1$ , $V_2$ , $\Delta P$ и $\Delta V$ , используя $\Delta P$ на изохорах и $\Delta V$ на изобарах.
Проверить, что $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$ и $Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}$ . Является ли цикл циклом теплового двигателя или холодильным циклом? На каких участках газ получает теплоту, а на каких отдаёт её? Интерпретировать этот теплообмен, определив холодные и горячие источники: что именно здесь охлаждается?
Вывести холодильный коэффициент цикла через $P_1$ , $P_2$ , $V_1$ и $V_2$ .
Дать физическую интерпретацию COP. Почему, в отличие от КПД теплового двигателя, он может быть больше 1?
Численное приложение: $P_1=1{,}0$ бар, $P_2=3{,}0$ бар, $V_1=5{,}0$ л и $V_2=15{,}0$ л. Найти $W$ и $Q$ на каждом участке, затем их балансы за цикл и COP.

Подсказка

На изохоре

nR\,\Delta T=V\,\Delta P

, а работа равна нулю. На изобаре

nR\,\Delta T=P\,\Delta V

и

W=-P\Delta V

. В конце цикла любая функция состояния возвращается к исходному значению.

Подробное решение

Решение

Вопрос 1. Точки

A

,

B

,

C

и

D

расположены соответственно внизу слева, внизу справа, вверху справа и вверху слева. Участки

A\to B

и

C\to D

являются изобарными;

B\to C

и

D\to A

— изохорными. Цикл

A\to B\to C\to D\to A

обходится против часовой стрелки.

Рисунок 1. Прямоугольный цикл из изобар и изохор на диаграмме Клапейрона.

Вопрос 2. Работа, полученная газом, равна

W=-\int P_{\mathrm{ext}}\,\mathrm dV.

Она равна нулю на изохорах $B\to C$ и $D\to A$ . На двух изобарах

W_{AB}=-P_1(V_2-V_1)=-P_1\Delta V, \qquad W_{CD}=-P_2(V_1-V_2)=P_2\Delta V.

Следовательно,

\boxed{W_{\mathrm{cycle}} =(-P_1+P_2)\Delta V =\Delta P\,\Delta V>0}.

Эта величина действительно равна площади прямоугольника на диаграмме Клапейрона.

Вопрос 3. Для одноатомного идеального газа

\Delta U=nc_V\Delta T=\frac32nR\Delta T.

На изобаре уравнение состояния даёт $nR\Delta T=P\Delta V_{\mathrm{branche}}$ . Следовательно,

\Delta U_{AB}=\frac32P_1\Delta V, \qquad \Delta U_{CD}=-\frac32P_2\Delta V.

На изохоре оно даёт $nR\Delta T=V\Delta P_{\mathrm{branche}}$ , откуда

\Delta U_{BC}=\frac32V_2\Delta P, \qquad \Delta U_{DA}=-\frac32V_1\Delta P.

Наконец, первый закон термодинамики $\Delta U=Q+W$ , то есть $Q=\Delta U-W$ , приводит к сводной таблице:

\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{Участок} & W & \Delta U & Q=\Delta U-W\\ \hline A\to B & -P_1\Delta V & \frac32P_1\Delta V & \frac52P_1\Delta V\\[2pt] B\to C & 0 & \frac32V_2\Delta P & \frac32V_2\Delta P\\[2pt] C\to D & P_2\Delta V & -\frac32P_2\Delta V & -\frac52P_2\Delta V\\[2pt] D\to A & 0 & -\frac32V_1\Delta P & -\frac32V_1\Delta P \end{array} \end{aligned}

Вопрос 4. Сумма изменений внутренней энергии равна нулю. Поэтому первый закон термодинамики требует

Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}=-\Delta P\,\Delta V<0.

Газ в целом получает работу: это холодильный цикл. Он получает теплоту на участках $A\to B$ и $B\to C$ . На этих двух участках он отбирает теплоту у холодных источников, с которыми находится в контакте: таким образом, охлаждаются именно эти внешние источники (например, камера и продукты в холодильнике), а не сам циклически работающий газ.

На участках $C\to D$ и $D\to A$ газ, напротив, отдаёт теплоту горячим источникам, например воздуху в помещении. Обозначив через $Q_{\mathrm{chaud}}>0$ полную теплоту, полученную этими источниками, получаем

Q_{\mathrm{chaud}} =-(Q_{CD}+Q_{DA}) =\frac52P_2\Delta V+\frac32V_1\Delta P.

Таким образом, благодаря полученной работе цикл переносит теплоту от холодных источников к горячим.

Вопрос 5. Отобранная газом теплота равна

Q_f =Q_{AB}+Q_{BC} =\frac52P_1\Delta V+\frac32V_2\Delta P.

Отсюда

\boxed{ \mathrm{COP} =\frac{\frac52P_1\Delta V+\frac32V_2\Delta P} {\Delta P\,\Delta V}. }

Вопрос 6. COP характеризует холодильный эффект, полученный по отношению к затраченной работе: COP, равный $k$ , означает, что каждый джоуль подведённой работы позволяет отобрать у холодных источников $k$ джоулей теплоты.

В отличие от КПД теплового двигателя, COP не является долей полученной энергии, преобразованной в работу. Газ получает как работу $W_{\mathrm{in}}$ , так и теплоту $Q_f$ , отобранную у холодных источников, а затем отдаёт их сумму горячим источникам:

\boxed{Q_{\mathrm{chaud}}=Q_f+W_{\mathrm{in}}}.

Поэтому нет никаких оснований требовать, чтобы $Q_f$ было меньше $W_{\mathrm{in}}$ , и COP вполне может быть больше 1, не нарушая закона сохранения энергии.

Вопрос 7. Здесь $\Delta P=2{,}0\times10^5$ Па и $\Delta V=1{,}0\times10^{-2}$ м $^3$ :

\begin{aligned} \begin{array}{c|r|r|r} \text{Участок} & W\ (\mathrm J) & \Delta U\ (\mathrm J) & Q\ (\mathrm J)\\ \hline A\to B & -1000 & 1500 & 2500\\ B\to C & 0 & 4500 & 4500\\ C\to D & 3000 & -4500 & -7500\\ D\to A & 0 & -1500 & -1500 \end{array} \end{aligned}

Таким образом, $W_{\mathrm{cycle}}=+2000$ Дж, $Q_{\mathrm{cycle}}=-2000$ Дж и $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$ . Отобранная теплота равна

Q_f=2500+4500=7000\ \mathrm{J},

а теплота, переданная горячим источникам, равна

Q_{\mathrm{chaud}}=7500+1500=9000\ \mathrm{J} =Q_f+W_{\mathrm{cycle}}.

Поэтому холодильный коэффициент равен

\mathrm{COP}=\frac{7000}{2000}=3{,}5.