Решённая задача по термодинамике

Прямоугольный холодильный цикл?

Задача 23 · Урок 5 — Применение к идеальному газу

термодинамический цикл
прямоугольный цикл
диаграмма Клапейрона
работа
теплота
площадь
идеальный газ
холодильный цикл
холодильная машина

Условие

Рассмотрим $n$ молей одноатомного идеального газа с $U = \frac{3}{2} n R T$ , квазистатически совершающего прямоугольный цикл против часовой стрелки

A (P_{1}, V_{1}) \to B (P_{1}, V_{2}) \to C (P_{2}, V_{2}) \to D (P_{2}, V_{1}) \to A,

где $V_{2} > V_{1}$ и $P_{2} > P_{1}$ . Обозначим

Δ P = P_{2} - P_{1} > 0, Δ V = V_{2} - V_{1} > 0.

Изобразить цикл на диаграмме Клапейрона $(P, V)$ и указать тип каждого участка.
Вычислить полученную работу на каждом из четырёх участков через $Δ V$ , когда изменяется объём, а затем полную работу через $Δ P$ и $Δ V$ . Получить её значение из площади прямоугольника.
Выразить $Δ U$ и $Q$ на каждом участке через $P_{1}$ , $P_{2}$ , $V_{1}$ , $V_{2}$ , $Δ P$ и $Δ V$ , используя $Δ P$ на изохорах и $Δ V$ на изобарах.
Проверить, что $Δ U_{cycle} = 0$ и $Q_{cycle} = - W_{cycle}$ . Является ли цикл циклом теплового двигателя или обратным циклом, получающим работу? На каких участках газ получает теплоту, а на каких отдаёт её? Показать, что полная отданная газом теплота $Q_{out} > 0$ равна полной полученной теплоте $Q_{in} > 0$ плюс полученная работа $W_{cycle}$ .
Выразить температуры $T_{A}$ , $T_{B}$ , $T_{C}$ и $T_{D}$ четырёх вершин. Какая из них наименьшая, какая наибольшая? Как меняется температура газа на каждом участке? В каком интервале температур газ получает теплоту и в каком отдаёт её?
Хотелось бы использовать этот цикл как холодильник: отбирать теплоту из холодной камеры и отдавать её более тёплому воздуху комнаты. Чтобы тело получало теплоту, источник, с которым оно контактирует, должен быть горячее его. Какими должны быть температуры источников, отдающих теплоту газу, и источников, получающих от него теплоту? Может ли этот цикл работать как холодильник?
Численное приложение: $P_{1} = 1, 0$ бар, $P_{2} = 3, 0$ бар, $V_{1} = 5, 0$ л и $V_{2} = 15, 0$ л. Вычислить $W$ и $Q$ на каждом участке, затем $W_{cycle}$ , $Q_{in}$ и $Q_{out}$ . Наконец, вычислить отношения $T_{B} / T_{A}$ , $T_{C} / T_{A}$ и $T_{D} / T_{A}$ и сделать вывод.

Подсказка

На изохоре

n R Δ T = V Δ P

, а работа равна нулю. На изобаре

n R Δ T = P Δ V

W = - P Δ V

. В конце цикла любая функция состояния возвращается к исходному значению.

Подробное решение

Решение

Вопрос 1. Точки

A

B

C

D

расположены соответственно внизу слева, внизу справа, вверху справа и вверху слева. Участки

A \to B

C \to D

являются изобарными;

B \to C

D \to A

— изохорными. Цикл

A \to B \to C \to D \to A

обходится против часовой стрелки.

Рисунок 1. Прямоугольный цикл из изобар и изохор на диаграмме Клапейрона.

Вопрос 2. Работа, полученная газом, равна

W = - \int P_{ext} d V .

Она равна нулю на изохорах $B \to C$ и $D \to A$ . На двух изобарах

W_{A B} = - P_{1} (V_{2} - V_{1}) = - P_{1} Δ V, W_{C D} = - P_{2} (V_{1} - V_{2}) = P_{2} Δ V .

Следовательно,

W_{cycle} = (- P_{1} + P_{2}) Δ V = Δ P Δ V > 0

Эта величина действительно равна площади прямоугольника на диаграмме Клапейрона.

Вопрос 3. Для одноатомного идеального газа

Δ U = n c_{V} Δ T = \frac{3}{2} n R Δ T .

На изобаре уравнение состояния даёт $n R Δ T = P Δ V_{branch}$ . Следовательно,

Δ U_{A B} = \frac{3}{2} P_{1} Δ V, Δ U_{C D} = - \frac{3}{2} P_{2} Δ V .

На изохоре оно даёт $n R Δ T = V Δ P_{branch}$ , откуда

Δ U_{B C} = \frac{3}{2} V_{2} Δ P, Δ U_{D A} = - \frac{3}{2} V_{1} Δ P .

Наконец, первый закон термодинамики $Δ U = Q + W$ , то есть $Q = Δ U - W$ , приводит к сводной таблице:

Участок A \to B B \to C C \to D D \to A W - P_{1} Δ V 0 P_{2} Δ V 0 Δ U \frac{3}{2} P_{1} Δ V \frac{3}{2} V_{2} Δ P - \frac{3}{2} P_{2} Δ V - \frac{3}{2} V_{1} Δ P Q = Δ U - W \frac{5}{2} P_{1} Δ V \frac{3}{2} V_{2} Δ P - \frac{5}{2} P_{2} Δ V - \frac{3}{2} V_{1} Δ P

Вопрос 4. Сумма изменений внутренней энергии равна нулю, как для любой функции состояния за цикл. Поэтому первое начало даёт

Q_{cycle} = - W_{cycle} = - Δ P Δ V < 0.

В целом газ получает работу: цикл обратный. Согласно таблице, газ получает теплоту на $A \to B$ и $B \to C$ и отдаёт её на $C \to D$ и $D \to A$ :

Q_{in} = Q_{A B} + Q_{B C} = \frac{5}{2} P_{1} Δ V + \frac{3}{2} V_{2} Δ P, Q_{out} = - (Q_{C D} + Q_{D A}) = \frac{5}{2} P_{2} Δ V + \frac{3}{2} V_{1} Δ P .

Вычитая и учитывая $P_{2} - P_{1} = Δ P$ , $V_{2} - V_{1} = Δ V$ , получаем

Q_{out} - Q_{in} = \frac{5}{2} Δ P Δ V - \frac{3}{2} Δ P Δ V = Δ P Δ V = W_{cycle},

откуда

Q_{out} = Q_{in} + W_{cycle}

За цикл газ отдаёт в виде теплоты всю полученную энергию — и теплоту, и работу.

Вопрос 5. Уравнение состояния даёт

T = P V / (n R)

в каждой вершине:

T_{A} = \frac{P _{1} V _{1}}{n R}, T_{B} = \frac{P _{1} V _{2}}{n R}, T_{C} = \frac{P _{2} V _{2}}{n R}, T_{D} = \frac{P _{2} V _{1}}{n R} .

Поскольку $P_{1} < P_{2}$ и $V_{1} < V_{2}$ , произведение $P V$ минимально в $A$ и максимально в $C$ : $T_{A}$ — наименьшая температура цикла, $T_{C}$ — наибольшая, а $T_{B}$ и $T_{D}$ — промежуточные.

На изобаре

A \to B

объём

V

растёт при постоянном давлении, поэтому

T

возрастает от

T_{A}

до

T_{B}

. На изохоре

B \to C

давление

P

растёт при постоянном объёме, поэтому

T

возрастает от

T_{B}

до

T_{C}

. Аналогично

T

убывает от

T_{C}

до

T_{D}

на

C \to D

, затем от

T_{D}

до

T_{A}

на

D \to A

. Итак, газ получает теплоту, пока его температура растёт от наименьшего значения

T_{A}

до наибольшего

T_{C}

, и отдаёт теплоту, пока она снова падает от

T_{C}

до

T_{A}

. Вопрос 6. Чтобы получать теплоту, газ должен контактировать с источниками, по крайней мере столь же горячими, как он сам; в квазистатическом пределе их температура следует за температурой газа. Поэтому источники, отдающие теплоту газу, имеют температуры от

T_{A}

вплоть до

T_{C}

— наибольшей температуры цикла. Наоборот, источники, получающие теплоту от газа, имеют температуры от

T_{C}

вплоть до

T_{A}

— наименьшей температуры цикла. Следовательно, раздельных холодной и горячей сторон нет: газ забирает теплоту у очень горячих источников и отдаёт её очень холодным. Этот цикл не может служить холодильником, который должен отбирать теплоту при самых низких температурах и отдавать при самых высоких. Он получает работу и целиком возвращает её в виде теплоты (

Q_{cycle} = - W_{cycle}

), перераспределяя теплоту между источниками с разными температурами. Холодильник, напротив, должен поглощать теплоту на самых холодных участках цикла и отдавать её на самых горячих. Так происходит в цикле Карно, проходимом в обратном направлении, который изучается в уроке 6: газ получает теплоту вдоль холодной изотермы и отдаёт её вдоль горячей. Таким образом, того, что цикл обратный, ещё недостаточно, чтобы он был холодильным. Вопрос 7. Здесь

Δ P = 2, 0 \times 1 0^{5}

Па и

Δ V = 1, 0 \times 1 0^{- 2}

^{3}

Участок A \to B B \to C C \to D D \to A W (J) - 1000 030000 Δ U (J) 15004500 - 4500 - 1500 Q (J) 25004500 - 7500 - 1500

Итак, $W_{cycle} = + 2000 J$ , $Q_{cycle} = - 2000 J$ и $Δ U_{cycle} = 0$ . Полученная теплота равна $Q_{in} = 2500 + 4500 = 7000 J$ , отданная — $Q_{out} = 7500 + 1500 = 9000 J = Q_{in} + W_{cycle}$ . Отношения температур не зависят от $n$ :

\frac{T _{B}}{T _{A}} = \frac{V _{2}}{V _{1}} = 3, \frac{T _{C}}{T _{A}} = \frac{P _{2} V _{2}}{P _{1} V _{1}} = 9, \frac{T _{D}}{T _{A}} = \frac{P _{2}}{P _{1}} = 3.

Если бы наименьшая температура цикла была температурой холодной камеры, например $T_{A} = 270 K$ , газ должен был бы получать теплоту от источников с температурой вплоть до $T_{C} = 9 T_{A} ≃ 2400 K$ . Очевидно, такой цикл не охлаждает камеру.