КПД, холодильный и отопительный коэффициенты: пределы Карно из неравенства Клаузиуса

Вопрос 1. Три режима работы различаются реальным направлением передач энергии.

• В режиме двигателя рабочее тело получает теплоту от горячего термостата, отдаёт теплоту холодному и совершает работу: $Q_{\mathrm{H}}>0$, $Q_{\mathrm{C}}<0$ и $W<0$.
• В режиме холодильника, как и в режиме теплового насоса, рабочее тело получает работу, отбирает теплоту у холодного термостата и отдаёт теплоту горячему: $W>0$, $Q_{\mathrm{C}}>0$ и $Q_{\mathrm{H}}<0$. Обе машины одинаковы; меняется лишь ожидаемый полезный эффект — охлаждение холодного термостата или нагревание горячего.

За цикл рабочее тело возвращается в исходное состояние, поэтому его внутренняя энергия не изменяется: $\Delta U=0$. Первое начало $\Delta U=Q+W$ во всех трёх случаях даёт

$$Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}+W=0.$$

Вопрос 2. В режиме двигателя $W<0$, поэтому $|W|=-W$. Первое начало даёт $-W=Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}$, откуда

$$\eta =\frac{-W}{Q_{\mathrm{H}}}=\frac{Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}=1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}.$$

В режиме холодильника или теплового насоса $W>0$, и первое начало даёт $W=-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}$. Поскольку $Q_{\mathrm{H}}<0$, имеем $|Q_{\mathrm{H}}|=-Q_{\mathrm{H}}$. Таким образом,

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}=\frac{Q_{\mathrm{C}}}{-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}},{\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}=\frac{-Q_{\mathrm{H}}}{-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}}.$$

Так как $-Q_{\mathrm{H}}=W+Q_{\mathrm{C}}$,

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}=\frac{W+Q_{\mathrm{C}}}{W}=1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{W}=1+{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}.$$

В режиме двигателя $Q_{\mathrm{C}}<0$ и $Q_{\mathrm{H}}>0$, поэтому $Q_{\mathrm{C}}/Q_{\mathrm{H}}<0$ и $\eta <1$: отданная работа не может превышать полученную теплоту, что гарантирует уже первое начало. Холодильный и отопительный коэффициенты, напротив, могут превышать $1$: тепловой насос не производит отдаваемую им теплоту, а переносит её от холодного тела к горячему, и полученная работа составляет лишь её часть. Более того, всегда ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}>1$, поскольку ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}>0$.

Вопрос 3. Рабочее тело совершает цикл, обмениваясь теплотой только с двумя термостатами. Неравенство Клаузиуса записывается как

$$\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}\le 0,$$

причём равенство выполняется тогда и только тогда, когда цикл обратим. Выделим холодный член, а затем умножим на $T_{\mathrm{C}}>0$, что сохраняет знак неравенства:

$$\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}\le -\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}⟹Q_{\mathrm{C}}\le -Q_{\mathrm{H}}\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

В режиме двигателя $Q_{\mathrm{H}}>0$: разделим на $Q_{\mathrm{H}}$, что снова сохраняет знак неравенства,

$$\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}\le -\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

Подставляя в выражение из вопроса 2, получаем

$$\eta =1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}\le 1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

Равенство достигается тогда и только тогда, когда неравенство Клаузиуса обращается в равенство, то есть для обратимого цикла: мы получаем первую и третью теоремы Карно без каких-либо предположений о рабочем теле. Наконец, $\eta =1$ потребовало бы $Q_{\mathrm{C}}=0$; неравенство Клаузиуса приняло бы тогда вид $Q_{\mathrm{H}}/T_{\mathrm{H}}\le 0$, что противоречит $Q_{\mathrm{H}}>0$. Это формулировка Кельвина–Планка: двигатель обязательно должен отдавать теплоту холодному термостату.

Вопрос 4. На этот раз исходим из неравенства Клаузиуса, выделяя горячий член, а затем умножаем на $T_{\mathrm{H}}>0$:

$$\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}\le -\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}⟹Q_{\mathrm{H}}\le -Q_{\mathrm{C}}\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}}⟹-Q_{\mathrm{H}}\ge Q_{\mathrm{C}}\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}},$$

причём при переходе к противоположным величинам знак неравенства меняется. Прибавим $-Q_{\mathrm{C}}$ к обеим частям и воспользуемся $W=-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}$:

$$W\ge Q_{\mathrm{C}}\left(\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}}-1\right)=Q_{\mathrm{C}}\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}.$$

Обе части положительны. Разделим на $W>0$, затем умножим на $T_{\mathrm{C}}/(T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}})>0$:

$$1\ge \frac{Q_{\mathrm{C}}}{W}\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}⟹{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}=\frac{Q_{\mathrm{C}}}{W}\le \frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}.$$

С учётом соотношения из вопроса 2

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}=1+{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}\le 1+\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}=\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}+T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}=\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}.$$

Как и для двигателя, эти пределы достигаются только обратимой машиной.

Вопрос 5. При $T_{\mathrm{C}}\to T_{\mathrm{H}}$ предел КПД $1-T_{\mathrm{C}}/T_{\mathrm{H}}$ стремится к $0$: без разности температур никакую работу получить нельзя. Пределы обоих коэффициентов COP, знаменатель которых $T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}$ стремится к $0$, напротив, стремятся к бесконечности: перенос теплоты между двумя телами одинаковой температуры в обратимом пределе не требует никакой работы. При $T_{\mathrm{C}}\to 0$ предел КПД стремится к $1$, а предел ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}$ — к $0$: отбор теплоты у всё более холодного тела требует всё больше работы на каждый отведённый джоуль, так что охлаждение до абсолютного нуля становится всё более дорогим. Вопрос 6. Для холодильника

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R},\max }=\frac{278}{293-278}=\frac{278}{15}\approx 18,5.$$

Для морозильника

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R},\max }=\frac{255}{293-255}=\frac{255}{38}\approx 6,7.$$

Работа, затрачиваемая на джоуль отведённой теплоты, равна $W/Q_{\mathrm{C}}=1/{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}$. Поэтому отношение двух минимальных затрат равно $18,5/6,7\approx 2,8$: даже идеальный морозильник затрачивает почти в три раза больше работы, чем холодильник, чтобы отвести то же количество теплоты, потому что преодолеваемая разность температур более чем вдвое больше. Реальные необратимые приборы остаются заметно ниже этих пределов.