Цикл Карно: энергия и энтропия на каждом участке

Вопрос 1. На схеме $AB$ и $CD$ являются адиабатами, $BC$ лежит на горячей изотерме, а $DA$ на холодной. Цикл обходится по часовой стрелке. На адиабате $AB$ закон Лапласа даёт

$$T_{\mathrm{C}}V_A^{\gamma-1}=T_{\mathrm{H}}V_B^{\gamma-1},\qquad \left(\frac{V_A}{V_B}\right)^{\gamma-1}=\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}}.$$

Возводя в степень $1/(\gamma-1)$ и полагая $b=(T_{\mathrm{H}}/T_{\mathrm{C}})^{1/(\gamma-1)}$, получаем $V_A=bV_B$. Аналогично на $CD$,

$$T_{\mathrm{H}}V_C^{\gamma-1}=T_{\mathrm{C}}V_D^{\gamma-1} \quad\Longrightarrow\quad V_D=bV_C=brV_B.$$

Таким образом, $V_D/V_A=(brV_B)/(bV_B)=r$: обе изотермы имеют одно и то же отношение объёмов, но проходятся в противоположных направлениях.

Вопрос 2. На каждой обратимой адиабате $\delta Q_{\mathrm{rev}}=0$ и $\mathrm dS=\delta Q_{\mathrm{rev}}/T=0$:

$$Q_{AB}=Q_{CD}=0,\qquad \Delta S_{AB}=\Delta S_{CD}=0.$$

На изотерме идеального газа $\mathrm dU=0$, поэтому $\delta Q_{\mathrm{rev}}=P\,\mathrm dV=nRT\,\mathrm dV/V$. Для расширения на горячей изотерме

$$\begin{aligned} Q_{BC}&=nRT_{\mathrm{H}}\int_{V_B}^{rV_B}\frac{\mathrm dV}{V} =nRT_{\mathrm{H}}[\ln V]_{V_B}^{rV_B}=nRT_{\mathrm{H}}\ln r>0,\\ \Delta S_{BC}&=\frac{Q_{BC}}{T_{\mathrm{H}}}=nR\ln r. \end{aligned}$$

Для сжатия на холодной изотерме $V_A/V_D=1/r$:

$$\begin{aligned} Q_{DA}&=nRT_{\mathrm{C}}\int_{V_D}^{V_A}\frac{\mathrm dV}{V} =nRT_{\mathrm{C}}[\ln V]_{V_D}^{V_A}\\ &=nRT_{\mathrm{C}}\ln\frac{V_A}{V_D}=-nRT_{\mathrm{C}}\ln r<0,\\ \Delta S_{DA}&=\frac{Q_{DA}}{T_{\mathrm{C}}}=-nR\ln r. \end{aligned}$$

На диаграмме $(S,T)$ энтропия постоянна на $AB$ и $CD$: эти участки вертикальны. Изотермы $BC$ и $DA$ горизонтальны. Выбрав $S_A$ за относительное начало отсчёта, получаем координаты

$$\begin{aligned} \begin{array}{c|cc} \text{Состояние}&S-S_A&T\\ \hline A&0&T_{\mathrm{C}}\\ B&0&T_{\mathrm{H}}\\ C&nR\ln r&T_{\mathrm{H}}\\ D&nR\ln r&T_{\mathrm{C}} \end{array} \end{aligned}$$

Получается прямоугольник, обходимый по часовой стрелке, шириной $nR\ln r$ и высотой $T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}$.

Вопрос 3. За цикл $\Delta U=0$. Считая полученные энергии положительными, из первого начала находим

$$W=-(Q_{AB}+Q_{BC}+Q_{CD}+Q_{DA}) =-nR(T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}})\ln r<0.$$

Отданная работа равна $-W>0$, а теплота, полученная от горячего источника, $Q_{BC}>0$. Поэтому КПД составляет

$$\eta=\frac{-W}{Q_{BC}} =\frac{nR(T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}})\ln r}{nRT_{\mathrm{H}}\ln r} =\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}=1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

Каждый источник получает теплоту, противоположную по знаку той, которую он передаёт газу:

$$\Delta S_{\mathrm{th,H}}=\frac{-Q_{BC}}{T_{\mathrm{H}}}=-nR\ln r,\qquad \Delta S_{\mathrm{th,C}}=\frac{-Q_{DA}}{T_{\mathrm{C}}}=nR\ln r.$$

Газ возвращается в начальное состояние, поэтому $\Delta S_{\mathrm{gas}}=0$. Сумма трёх изменений равна нулю: энтропия не производится. Работа, отданная окружающей среде, не переносит энтропии.

Вопрос 4. Сохраняем для машины соглашение о положительных полученных энергиях: $Q_{\mathrm{H}}>0$ есть теплота, полученная от горячего источника, $Q_{\mathrm{C}}<0$ — от холодного, а $W<0$ — работа, полученная за цикл. Источники получают противоположные теплоты $-Q_{\mathrm{H}}$ и $-Q_{\mathrm{C}}$. Их суммарное изменение энтропии равно произведённой энтропии, поскольку машина возвращается в начальное состояние, а окружающая среда получает только работу:

$$S_{\mathrm{i}}=-\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}-\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}.$$

Умножая на $T_{\mathrm{C}}$ и затем выражая $Q_{\mathrm{C}}$,

$$T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}=-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}, \qquad Q_{\mathrm{C}}=-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}Q_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}.$$

Первое начало даёт $0=Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}+W$. Полученная снаружи работа равна $|W|=-W=Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}$, откуда

$$\eta=\frac{|W|}{Q_{\mathrm{H}}}=1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}} =1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}-\frac{T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}}{Q_{\mathrm{H}}}.$$

Поскольку $T_{\mathrm{C}}>0$ и $Q_{\mathrm{H}}>0$, положительное производство энтропии уменьшает КПД.

Вопрос 5. Теплота, полученная от горячего источника, одинакова для обоих двигателей. Из вопроса 2

$$Q_{\mathrm{H}}=nRT_{\mathrm{H}}\ln r=1{,}0\times8{,}314\times500\times\ln3{,}4 \simeq5087\ \mathrm J.$$

КПД обратимого двигателя равен

$$\eta_{\mathrm{Carnot}}=1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}} =1-\frac{300}{500}=0{,}40=40\,\%.$$

Вопрос 4 даёт разность двух КПД:

$$\Delta\eta=\eta_{\mathrm{Carnot}}-\eta_{\mathrm{irr}} =\frac{T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}}{Q_{\mathrm{H}}} \simeq\frac{300\times2{,}0}{5087}=0{,}118.$$

Числитель $T_{\mathrm{C}}S_{\mathrm{i}}=600\ \mathrm J$ имеет размерность энергии, поэтому отношение безразмерно. Снижение составляет $100\Delta\eta\simeq11{,}8$ процентного пункта. Таким образом,

$$\eta_{\mathrm{irr}}=0{,}40-0{,}118\simeq0{,}282=28{,}2\,\%.$$

КПД снижается с $40\,\%$ до $28{,}2\,\%$; снижение на $11{,}8$ пункта не означает относительного снижения на $11{,}8\,\%$.