Сжатие в контакте с одним термостатом: обратимое или резкое

Вопрос 1. При обратимом сжатии газ остаётся в тепловом равновесии с термостатом: его температура равна $T_0$ на протяжении всего процесса. Давление постепенно увеличивается от $P_0$ до $P_1=xP_0$. В конечном состоянии

$$P_{f,\mathrm{rev}}=xP_0,\qquad T_{f,\mathrm{rev}}=T_0,\qquad V_{f,\mathrm{rev}}=\frac{nRT_0}{xP_0}=\frac{V_0}{x},$$

где использовано начальное уравнение состояния $nRT_0=P_0V_0$.

При резком сжатии внешнее давление устанавливается равным $P_1$. В конечном механическом равновесии давление газа равно внешнему: $P_{f,\mathrm{irr}}=P_1=xP_0$. Конечное тепловое равновесие с термостатом требует $T_{f,\mathrm{irr}}=T_0$. Уравнение состояния даёт

$$V_{f,\mathrm{irr}}=\frac{nRT_{f,\mathrm{irr}}}{P_{f,\mathrm{irr}}} =\frac{nRT_0}{xP_0}=\frac{V_0}{x}.$$

Оба процесса, таким образом, приводят к одному конечному состоянию $(P_f,T_f,V_f)=(xP_0,T_0,V_0/x)$.

Вопрос 2. Энтропия — функция состояния: её изменение зависит только от начального и конечного состояний, одинаковых в обоих опытах. Для идеального газа

$$\Delta S_{\mathrm{gas}} =nc_V\ln\frac{T_f}{T_0}+nR\ln\frac{V_f}{V_0} =nc_V\ln1+nR\ln\frac1x=-nR\ln x.$$

Таким образом, $\Delta S_{\mathrm{gas,rev}}=\Delta S_{\mathrm{gas,irr}}=-nR\ln x<0$. Это уменьшение энтропии газа не определяет произведённую энтропию: необходимо учитывать обмен с термостатом.

Вопрос 3. При обратимом сжатии $P_{\mathrm{ext}}=P=nRT_0/V$. Работа над газом равна

$$\begin{aligned} W_{\mathrm{rev}}&=-\int_{V_0}^{V_0/x}\frac{nRT_0}{V}\,\mathrm dV\\ &=-nRT_0[\ln V]_{V_0}^{V_0/x} =-nRT_0\ln(1/x)=nRT_0\ln x>0. \end{aligned}$$

Газ возвращается к начальной температуре, поэтому $\Delta U=nc_V(T_0-T_0)=0$. Первое начало $\Delta U=Q+W$ даёт $Q_{\mathrm{rev}}=-W_{\mathrm{rev}}$. Термостат получает противоположную теплоту при температуре $T_0$:

$$\Delta S_{\mathrm{th,rev}}=\frac{-Q_{\mathrm{rev}}}{T_0}=nR\ln x.$$

Полученная газом энтропия равна $S_{\mathrm{e},\mathrm{rev}}=Q_{\mathrm{rev}}/T_0=-nR\ln x$, поэтому $S_{\mathrm{i},\mathrm{rev}}=\Delta S_{\mathrm{gas}}-S_{\mathrm{e},\mathrm{rev}}=0$. Термостат получает энтропию $S_{\mathrm{e},\mathrm{th}}=-Q_{\mathrm{rev}}/T_0$, равную изменению его энтропии: он также не производит энтропию. Сложение даёт $\Delta S_{\mathrm{gas}}+\Delta S_{\mathrm{th,rev}}=0$: в совокупной системе энтропия не производится.

Вопрос 4. Резкое сжатие происходит при постоянном внешнем давлении $P_1$. Поэтому работа над газом равна

$$\begin{aligned} W_{\mathrm{irr}}&=-P_1(V_f-V_0) =-xP_0\left(\frac{V_0}{x}-V_0\right)\\ &=P_0V_0(x-1)=nRT_0(x-1)>0. \end{aligned}$$

Снова $\Delta U=0$, поэтому $Q_{\mathrm{irr}}=-nRT_0(x-1)$.

Вопрос 5. Термостат получает $-Q_{\mathrm{irr}}$, откуда

$$\Delta S_{\mathrm{th,irr}}=\frac{-Q_{\mathrm{irr}}}{T_0}=nR(x-1).$$

Баланс энтропии газа имеет вид

$$\Delta S_{\mathrm{gas}}=\frac{Q_{\mathrm{irr}}}{T_0}+S_{\mathrm{i}}, \qquad S_{\mathrm{i}}=-nR\ln x+nR(x-1).$$

Для идеального термостата полученная энтропия $-Q_{\mathrm{irr}}/T_0$ равна её изменению: производства нет. Совокупная система газ—термостат не получает теплоту от других тел; работа, полученная извне, не переносит энтропию. Поэтому её прирост энтропии производится внутри:

$$S_{\mathrm{i}}=\Delta S_{\mathrm{gas}}+\Delta S_{\mathrm{th,irr}} =-nR\ln x+nR(x-1).$$

Положим $f(x)=x-1-\ln x$. Тогда $f(1)=0$ и $f'(x)=1-1/x=(x-1)/x>0$ при $x>1$. Функция возрастает от нуля, поэтому $S_{\mathrm{i}}=nRf(x)>0$. Кроме того,

$$W_{\mathrm{irr}}-W_{\mathrm{rev}} =nRT_0(x-1)-nRT_0\ln x=T_0 S_{\mathrm{i}}.$$

Поскольку в обоих случаях $Q=-W$, дополнительная работа отдаётся термостату в виде теплоты. Такова цена необратимости.