Решённая задача по термодинамике

Эвапотранспирация большого дерева: природный кондиционер?

Задача 2 · Урок 2 — История термодинамики и калориметрии

  • порядок величины
  • эвапотранспирация
  • дерево
  • скрытая теплота
  • холодильная мощность
  • кондиционер
  • COP

Условие

В жаркий сухой день большое дерево при достаточном водоснабжении может испарить путём эвапотранспирации около 500 L=5,0×10−1 m3500\,\text{L}=5{,}0\times10^{-1}\,\text{m}^3 воды. Поскольку транспирация происходит главным образом при освещении, будем считать, что она длится двенадцать часов. Крона дерева покрывает площадь земли Atree=50 m2A_{\text{tree}}=50\,\text{m}^2. Даны плотность воды и её удельная теплота парообразования при атмосферном давлении:

ρwater=1,0×103 kg ⁣⋅ ⁣m−3,Lv=2,26×106 J ⁣⋅ ⁣kg−1.\rho_{\text{water}}=1{,}0\times10^3\,\text{kg}\!\cdot\!\text{m}^{-3}, \qquad L_v=2{,}26\times10^6\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}.
  1. Вычислить массу воды, испарённой деревом за день, и энергию, необходимую для её испарения.
  2. Объяснить, почему это создаёт охлаждающий эффект.
  3. Вычислить среднюю охлаждающую мощность дерева на квадратный метр в течение двенадцати часов активной транспирации.
  4. Для сравнения рассмотреть кондиционер с электрической мощностью Pel=7,0×102 WP_{\mathrm{el}}=7{,}0\times10^2\,\text{W}, холодильным коэффициентом COP=3,0\mathrm{COP}=3{,}0, охлаждающий помещение площадью Aroom=20 m2A_{\text{room}}=20\,\text{m}^2. По определению COP=Pcool/Pel\mathrm{COP}=P_{\text{cool}}/P_{\mathrm{el}}. Вычислить холодильную мощность и мощность на квадратный метр и сравнить их с результатами для дерева.
  5. Почему нельзя утверждать, что дерево и кондиционер создают совершенно одинаковое ощущение охлаждения, даже если их мощности на единицу площади имеют одинаковый порядок величины?
  6. Можно ли охлаждать жилище множеством комнатных растений? (Общие знания: ответ зависит от биологических процессов.)

Подсказка
Использовать m=ρVm=\rho V, Qevap=mLvQ_{\mathrm{evap}}=mL_v и P=Q/τP=Q/\tau. Для кондиционера Pcool=COP PelP_{\text{cool}}=\mathrm{COP}\,P_{\mathrm{el}}.

Подробное решение

Решение
1. Масса воды равна

m=ρwaterV=1,0×103×5,0×10−1=5,0×102 kg.m=\rho_{\text{water}}V=1{,}0\times10^3\times5{,}0\times10^{-1} =5{,}0\times10^2\,\text{kg}.

Необходимая энергия составляет

Qevap=mLv=5,0×102×2,26×106=1,13×109 J.Q_{\mathrm{evap}}=mL_v=5{,}0\times10^2\times2{,}26\times10^6 =1{,}13\times10^9\,\text{J}.

Её порядок величины — один гигаджоуль.

2. Испарение — эндотермический фазовый переход: требуется энергия QevapQ_{\mathrm{evap}}. Эта энергия берётся главным образом из солнечного излучения, поглощённого листвой: вместо того чтобы нагревать лист (явное тепло), поглощённая солнечная энергия превращается в скрытую теплоту парообразования. Поэтому лист остаётся более прохладным, чем если бы вся поглощённая энергия шла на повышение его температуры, — отсюда охлаждающий эффект эвапотранспирации. 3. Двенадцать часов соответствуют τ=12×3600=4,32×104 s\tau=12\times3600=4{,}32\times10^4\,\text{s}. Поэтому

Ptree=Qevapτ=1,13×1094,32×104≈2,62×104 W,P_{\text{tree}}=\frac{Q_{\mathrm{evap}}}{\tau} =\frac{1{,}13\times10^9}{4{,}32\times10^4} \approx2{,}62\times10^4\,\text{W},

а на единицу площади

PtreeAtree=2,62×10450≈5,2×102 W ⁣⋅ ⁣m−2.\frac{P_{\text{tree}}}{A_{\text{tree}}} =\frac{2{,}62\times10^4}{50} \approx5{,}2\times10^2\,\text{W}\!\cdot\!\text{m}^{-2}.

Проверка правдоподобия: поскольку эта энергия берётся главным образом из поглощённого солнечного излучения (вопрос 2), отрадно убедиться, что 5,2×102 W ⁣⋅ ⁣m−25{,}2\times10^2\,\text{W}\!\cdot\!\text{m}^{-2} имеет тот же порядок величины, что и солнечная освещённость земной поверхности в ясный день, достигающая максимум порядка 103 W ⁣⋅ ⁣m−210^3\,\text{W}\!\cdot\!\text{m}^{-2} и в среднем за день составляющая несколько сотен W ⁣⋅ ⁣m−2\text{W}\!\cdot\!\text{m}^{-2}. Это подтверждает, что хорошо снабжаемое водой дерево в жаркий солнечный день может действительно отводить транспирацией значительную долю получаемой солнечной энергии.

4. Полезная холодильная мощность кондиционера равна

Pcool=COP Pel=3,0×7,0×102=2,1×103 W.P_{\text{cool}}=\mathrm{COP}\,P_{\mathrm{el}} =3{,}0\times7{,}0\times10^2=2{,}1\times10^3\,\text{W}.

На единицу площади помещения приходится

PcoolAroom=2,1×10320≈1,1×102 W ⁣⋅ ⁣m−2.\frac{P_{\text{cool}}}{A_{\text{room}}} =\frac{2{,}1\times10^3}{20} \approx1{,}1\times10^2\,\text{W}\!\cdot\!\text{m}^{-2}.

В этой модели мощность эвапотранспирации дерева на единицу площади примерно в пять раз больше, чем у обычного кондиционера.

5. Сравнение касается только потоков энергии. Кондиционер охлаждает замкнутый контролируемый объём, тогда как пар от дерева рассеивается в атмосфере, а ветер приносит тёплый воздух. Ощущаемый эффект зависит от вентиляции, влажности, температуры воздуха и расстояния до дерева. Транспирация также зависит от солнечного света, ветра, влажности, вида дерева и доступности воды и может резко уменьшиться при засухе. Кроме того, дерево создаёт тень и уменьшает солнечное излучение, получаемое землёй и людьми. Расчёт сравнивает порядки величины, но не гарантирует одинакового теплового комфорта. 6. На практике охлаждающий эффект комнатных растений очень мал. У большинства растений свет способствует открытию устьиц — мелких пор листа, через которые выходит водяной пар. Освещение в помещении обычно слабое, поэтому устьица открываются меньше и транспирация снижается. В плохо проветриваемой комнате рост влажности также постепенно замедляет испарение. Множество растений может создать небольшое местное испарительное охлаждение, но не заменит кондиционер. Для длительного удаления энергии влажный воздух пришлось бы выводить наружу. Интенсивное искусственное освещение могло бы усилить транспирацию, однако его электрическая энергия почти полностью превратилась бы в тепло в комнате. Приспособленные к засухе CAM-растения, включая кактусы, являются исключением: их устьица открываются главным образом ночью.