Решённая задача по термодинамике

Смешивание двух масс воды

Задача 3 · Урок 2 — История термодинамики и калориметрии

калориметрия
смешивание
теплоёмкость
удельная теплоёмкость
Джозеф Блэк
температура равновесия

Условие

$m_1=0{,}200\,\text{kg}$ воды при $T_1=80\,^\circ\text{C}$ наливают в сосуд, уже содержащий $m_2=0{,}300\,\text{kg}$ воды при $T_2=15\,^\circ\text{C}$ . Сосуд является идеальным калориметром: потерями теплоты в окружающую среду и теплоёмкостью самого сосуда пренебрегают. Напомним, что $Q=mc\Delta T$ , где $c=4{,}18\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}$ — удельная теплоёмкость жидкой воды.

Обосновать, что теплота, отданная горячей водой, полностью получена холодной водой. Записать уравнение сохранения с $m_1$ , $m_2$ , $c$ , $T_1$ , $T_2$ и температурой равновесия $T_{eq}$ .
Вывести выражение для $T_{eq}$ и вычислить численное значение.
Вычислить теплоту $Q$ , отданную горячей водой при смешивании.
Позволяет ли смешивание одного и того же вещества определить $c$ ? Обосновать.

Подсказка

Калориметр изолирован и жёсток, поэтому полная внутренняя энергия

U_1+U_2

сохраняется: теплота, отданная одной частью, получена другой с противоположным знаком.

Подробное решение

Решение

1. Поскольку калориметр изолирован от внешней среды (его стенки адиабатические и жёсткие), полная внутренняя энергия системы из горячей и холодной воды сохраняется: сколько энергии теряет одна часть, столько же получает другая. Поэтому

Q_{1,\textrm{полученное}}=-Q_{2,\textrm{полученное}}

, или

Q_{1,\textrm{полученное}}+Q_{2,\textrm{полученное}}=0

. Применяя соглашение

Q=mc\Delta T

к каждой массе воды между начальным состоянием и равновесием, получаем

m_1c(T_{eq}-T_1)+m_2c(T_{eq}-T_2)=0.

2. Общий множитель $c$ сокращается:

T_{eq}=\frac{m_1T_1+m_2T_2}{m_1+m_2} =\frac{0{,}200\times80+0{,}300\times15}{0{,}200+0{,}300}=41\,^\circ\text{C}.

3. Горячая вода отдаёт

Q_{1,\textrm{отданное}}=-Q_{1,\textrm{полученное}}=m_1c(T_1-T_{eq})=0{,}200\times4{,}18\times10^3\times(80-41) \approx3{,}26\times10^4\,\text{J}.

Холодная вода получает столько же:

Q_{2,\textrm{полученное}}=m_2c(T_{eq}-T_2)=0{,}300\times4{,}18\times10^3\times26 \approx3{,}26\times10^4\,\text{J}.

4. Нет. Для двух масс одного вещества коэффициент $c$ умножает оба члена баланса и сокращается. Температура равновесия не зависит от $c$ и является средним начальных температур, взвешенным по массам. Для измерения удельной теплоёмкости методом смешивания нужно вещество с известной теплоёмкостью, как в следующей задаче.