Решённая задача по термодинамике

От холодного льда до кипящей воды: оценки порядка величины

Задача 1 · Урок 2 — История термодинамики и калориметрии

калориметрия
фазовый переход
плавление
испарение
скрытая теплота
порядок величины

Условие

Числовые данные (при атмосферном давлении):

\begin{aligned} c_{\text{ice}} &= 2{,}1\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}, & L_f &= 3{,}34\times10^5\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1},\\ c_{\text{water}} &= 4{,}18\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}, & L_v &= 2{,}26\times10^6\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}. \end{aligned}

При атмосферном давлении постепенно нагревают один килограмм льда с начальной температурой $-100\,{}^\circ\text{C}$ .

Вычислить энергию, необходимую для нагревания льда от $-100\,{}^\circ\text{C}$ до $0\,{}^\circ\text{C}$ .
Вычислить энергию, необходимую для полного плавления льда при $0\,{}^\circ\text{C}$ .
Вычислить энергию, необходимую для нагревания жидкой воды от $0\,{}^\circ\text{C}$ до $100\,{}^\circ\text{C}$ .
Вычислить дополнительную энергию, необходимую для полного испарения воды при $100\,{}^\circ\text{C}$ .
Какой этап требует больше всего энергии? Сравнить энергию нагревания одного килограмма воды от $0\,{}^\circ\text{C}$ до $100\,{}^\circ\text{C}$ с потенциальной энергией массы $m$ , падающей с высоты десяти метров. Какая масса должна упасть, чтобы выделилась такая же энергия?
Рассмотреть обратный процесс. Масса $m_v$ водяного пара конденсируется на ветровом стекле, а полученная жидкая вода затем не охлаждается. Выразить теплоту $Q_{\text{rel}}$ , выделившуюся при конденсации, и вычислить её для $m_v=1{,}0\times10^{-2}\,\text{kg}$ . При температуре стекла принять $L_v=2{,}45\times10^6\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}$ .

Подсказка

Для нагревания фазы без фазового перехода использовать

Q=mc\Delta T

. Для фазового перехода при постоянной температуре использовать

Q=mL

. Потенциальная энергия массы

m

на высоте

h

равна

E_p=mgh

; принять

g=9{,}81\,\text{m}\!\cdot\!\text{s}^{-2}

Подробное решение

Решение

1. Нагревание льда до температуры плавления требует

Q_1=mc_{\text{ice}}\Delta T =1{,}0\times2{,}1\times10^3\times100 =2{,}1\times10^5\,\text{J}.

2. Во время плавления температура остаётся равной $0\,{}^\circ\text{C}$ :

Q_2=mL_f=1{,}0\times3{,}34\times10^5=3{,}34\times10^5\,\text{J}.

3. Для нагревания жидкой воды

Q_3=mc_{\text{water}}\Delta T =1{,}0\times4{,}18\times10^3\times100 =4{,}18\times10^5\,\text{J}.

4. Полное испарение дополнительно требует

Q_4=mL_v=1{,}0\times2{,}26\times10^6=2{,}26\times10^6\,\text{J}.

Один этот этап требует энергии порядка нескольких мегаджоулей.

5. Испарение — безусловно самый энергоёмкий этап:

Q_4=2{,}26\times10^6>Q_3=4{,}18\times10^5>Q_2=3{,}34\times10^5>Q_1=2{,}1\times10^5\,\text{J}.

Оно требует примерно $(2{,}26\times10^6)/(4{,}18\times10^5)\approx5{,}4$ раза больше энергии, чем нагревание жидкой воды от $0$ до $100\,{}^\circ\text{C}$ .

Для падения с высоты $h=10\,\text{m}$ имеем $E_p=mgh$ . Из $mgh=Q_3$ следует

m=\frac{Q_3}{gh}=\frac{4{,}18\times10^5}{9{,}81\times10} \approx4{,}26\times10^3\,\text{kg}.

Чтобы выделить столько же энергии, сколько требуется для нагревания килограмма воды от $0$ до $100\,{}^\circ\text{C}$ , с высоты десяти метров должна упасть масса около $4{,}3$ тонны. Это огромная величина, объясняющая существенную долю нагревания воды в бытовом энергопотреблении. Удельная теплоёмкость воды также очень велика по сравнению с обычными металлами: например, примерно в десять раз больше, чем у меди (см. следующие задачи).

6. Конденсация является процессом, обратным испарению: пар отдаёт стеклу скрытую теплоту

Q_{\text{rel}}=m_vL_v.

Для $m_v=1{,}0\times10^{-2}\,\text{kg}$ ,

Q_{\text{rel}}=1{,}0\times10^{-2}\times2{,}45\times10^6 =2{,}45\times10^4\,\text{J}.

Таким образом, даже небольшая масса конденсирующегося пара может выделить заметное количество теплоты, которое получают стекло и его окружение.