Решённая задача по термодинамике

Проверка соотношения Максвелла на адиабате

Задача 35 · Урок 7 — Математическая структура: фундаментальные соотношения

соотношение Максвелла
идеальный газ
адиабата
молярная теплоёмкость
частные производные

Условие

Для закрытой системы фиксированного состава

d U = T d S - P d V .

Рассмотрим идеальный газ с постоянной молярной теплоёмкостью $c_{V}$ и обозначим $γ = c_{P} / c_{V}$ , где $c_{P} - c_{V} = R$ .

Выведите из дифференциала $U (S, V)$ соотношение Максвелла $(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = - (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} .$
Вычислите левую часть, исходя из $T V^{γ - 1} = const$ .
Отдельно вычислите правую часть, используя $P = n R T / V$ и $d S = n c_{V} d T / T$ при постоянном объёме.
Проверьте, что оба результата совпадают.

Подсказка

В вопросе 1 отождествите

T = (\partial U / \partial S)_{V}

- P = (\partial U / \partial V)_{S}

, затем поменяйте порядок дифференцирования.

Подробное решение

Решение

1. Естественные переменные

U

— это

S

V

. Поэтому

T = (\frac{\partial U}{\partial S})_{V}, - P = (\frac{\partial U}{\partial V})_{S} .

Так как смешанные производные $U$ равны,

(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = \frac{\partial ^{2} U}{\partial V \partial S} = - (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} .

2. На обратимой адиабате $T V^{γ - 1} = K$ . Дифференцируя при постоянной энтропии, получаем

V^{γ - 1} d T + T (γ - 1) V^{γ - 2} d V = 0.

После деления на $V^{γ - 1} d V$

(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = - (γ - 1) \frac{T}{V} .

3. При постоянном объёме $P = n R T / V$ , поэтому

(\frac{\partial P}{\partial S})_{V} = \frac{n R}{V} (\frac{\partial T}{\partial S})_{V} .

Но при постоянном объёме $d S = n c_{V} d T / T$ , откуда $(\partial T / \partial S)_{V} = T / (n c_{V})$ . Таким образом,

- (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} = - \frac{R T}{c _{V} V} .

4. Соотношение Майера даёт $R / c_{V} = (c_{P} - c_{V}) / c_{V} = γ - 1$ . Следовательно, правая часть равна $- (γ - 1) T / V$ , в точности как левая.