Решённая задача по термодинамике

Соотношение Гиббса–Дюгема и химический потенциал идеального газа

Задача 36 · Урок 7 — Математическая структура: фундаментальные соотношения

Гиббс-Дюгем
химический потенциал
идеальный газ
экстенсивность
изотермическое сжатие

Условие

Однородное чистое вещество удовлетворяет соотношениям

U = T S - P V + μ n, d U = T d S - P d V + μ d n .

Продифференцируйте соотношение Эйлера и, сравнив результат с фундаментальным соотношением, получите соотношение Гиббса–Дюгема.
Введя молярную энтропию $s = S / n$ и молярный объём $v = V / n$ , покажите, что $d μ = - s d T + v d P .$
Проинтегрируйте это соотношение для идеального газа при постоянной температуре между давлениями $P_{1}$ и $P_{2}$ .
При $P_{2} > P_{1}$ определите знак $μ (T, P_{2}) - μ (T, P_{1})$ и дайте ему физическую интерпретацию.

Подсказка

Для идеального газа молярный объём равен

v = R T / P

Подробное решение

Решение

1. Дифференциал соотношения Эйлера равен

d U = T d S + S d T - P d V - V d P + μ d n + n d μ .

Вычитая фундаментальное соотношение, видим, что члены с $d S$ , $d V$ и $d n$ сокращаются. Остаётся

S d T - V d P + n d μ = 0.

2. Разделим это равенство на $n$ :

s d T - v d P + d μ = 0,

то есть $d μ = - s d T + v d P$ .

3. При постоянной температуре

d T = 0

. Для идеального газа

d μ = v d P = \frac{R T}{P} d P .

Интегрируя с явно указанными пределами, получаем

μ (T, P_{2}) - μ (T, P_{1}) = R T \int_{P_{1}}^{P_{2}} \frac{d P}{P} = R T ln (\frac{P _{2}}{P _{1}}) .

4. Если $P_{2} > P_{1}$ , то $P_{2} / P_{1} > 1$ и $ln (P_{2} / P_{1}) > 0$ . Поскольку $R > 0$ и $T > 0$ ,

μ (T, P_{2}) - μ (T, P_{1}) > 0.

Следовательно, изотермическое сжатие газа повышает его химический потенциал. Если две области с одинаковой температурой могут обмениваться веществом, самопроизвольный перенос идёт из области с более высоким химическим потенциалом в область с более низким, пока потенциалы не сравняются.