Решённая задача по термодинамике

Учебное упражнение: элементарные процессы

Задача 17 · Урок 5 — Применение к идеальному газу

учебное упражнение
одноатомный идеальный газ
изохорный процесс
изотермический процесс
изобарный процесс
внутренняя энергия
работа
теплота
первый закон термодинамики

Условие

Рассмотрим $n$ молей одноатомного идеального газа, первоначально находящегося в состоянии $A (P_{A}, V_{A}, T_{i})$ . Отдельно исследуем три квазистатических процесса, каждый из которых начинается в состоянии $A$ , причём $T_{f} > T_{i}$ :

$A \to B$ : изохорное нагревание от $T_{i}$ до $T_{f}$ ;
$A \to C$ : изотермическое сжатие при $T_{i}$ от $V_{A}$ до $V_{A} /2$ ;
$A \to D$ : изобарное нагревание от $T_{i}$ до $T_{f}$ .

Будем использовать банковское правило знаков: переданная газу энергия считается положительной.

Изобразить все три процесса на одной диаграмме Клапейрона $(P, V)$ и формально определить состояния $B$ , $C$ и $D$ .
Формально вычислить $W$ , $Δ U$ и $Q$ для каждого из трёх процессов.
Прокомментировать знаки передаваемой энергии.
Численное приложение: $n = 1 mol$ , $T_{i} = 300 K$ , $T_{f} = 500 K$ и $R = 8, 314 J mo l^{- 1} K^{- 1}$ .

Подсказка

Для одноатомного идеального газа

Δ U = \frac{3}{2} n R Δ T

. Использовать

W = - \int P d V

и первый закон термодинамики

Δ U = Q + W

Подробное решение

Решение

Вопрос 1. Уравнение состояния идеального газа даёт

Состояние A B C D P P_{A} P_{A} \frac{T _{f}}{T _{i}} 2 P_{A} P_{A} V V_{A} V_{A} \frac{V _{A}}{2} V_{A} \frac{T _{f}}{T _{i}} T T_{i} T_{f} T_{i} T_{f}

На диаграмме $(P, V)$ процесс $A \to B$ изображается вертикальным отрезком, $A \to C$ идёт по изотерме $T_{i}$ влево, а $A \to D$ — по горизонтали вправо.

Вопрос 2. Изохорное нагревание

A \to B

. Поскольку

d V = 0

W_{A B} = 0, Δ U_{A B} = \frac{3}{2} n R (T_{f} - T_{i}), Q_{A B} = \frac{3}{2} n R (T_{f} - T_{i}) .

Изотермическое сжатие $A \to C$ . Температура постоянна, поэтому $Δ U_{A C} = 0$ . Кроме того,

W_{A C} = - \int_{V_{A}}^{V_{A} /2} \frac{n R T _{i}}{V} d V = n R T_{i} ln 2, Q_{A C} = - n R T_{i} ln 2.

Изобарное нагревание $A \to D$ . При постоянном давлении $P_{A} (V_{D} - V_{A}) = n R (T_{f} - T_{i})$ , поэтому

W_{A D} = - n R (T_{f} - T_{i}), Δ U_{A D} = \frac{3}{2} n R (T_{f} - T_{i}), Q_{A D} = \frac{5}{2} n R (T_{f} - T_{i}) .

Вопрос 3. При изохорном процессе вся полученная теплота увеличивает внутреннюю энергию. Во время изотермического сжатия газ получает работу и отдаёт точно такое же количество энергии в форме теплоты. При изобарном процессе газ получает теплоту, его внутренняя энергия увеличивается, а при расширении он совершает работу.

Вопрос 4. При

T_{f} - T_{i} = 200 K

Процесс Изохорный A \to B Изотермический A \to C Изобарный A \to D W (kJ) 0 + 1, 73 - 1, 66 Δ U (kJ) + 2, 49 0 + 2, 49 Q (kJ) + 2, 49 - 1, 73 + 4, 16