Решённая задача по термодинамике

Учебное упражнение: элементарные процессы

Задача 9 · Урок 5 — Применение к идеальному газу

учебное упражнение
одноатомный идеальный газ
изохорный процесс
изотермический процесс
изобарный процесс
внутренняя энергия
работа
теплота
первый закон термодинамики

Условие

Рассмотрим $n$ молей одноатомного идеального газа, первоначально находящегося в состоянии $A(P_A,V_A,T_i)$ . Отдельно исследуем три квазистатических процесса, каждый из которых начинается в состоянии $A$ , причём $T_f>T_i$ :

$A\to B$ : изохорное нагревание от $T_i$ до $T_f$ ;
$A\to C$ : изотермическое сжатие при $T_i$ от $V_A$ до $V_A/2$ ;
$A\to D$ : изобарное нагревание от $T_i$ до $T_f$ .

Будем использовать банковское правило знаков: переданная газу энергия считается положительной.

Изобразить все три процесса на одной диаграмме Клапейрона $(P,V)$ и формально определить состояния $B$ , $C$ и $D$ .
Формально вычислить $W$ , $\Delta U$ и $Q$ для каждого из трёх процессов.
Прокомментировать знаки передаваемой энергии.
Численное приложение: $n=1\ \mathrm{mol}$ , $T_i=300\ \mathrm{K}$ , $T_f=500\ \mathrm{K}$ и $R=8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ .

Подсказка

Для одноатомного идеального газа

\Delta U=\frac32nR\Delta T

. Использовать

W=-\int P\,\mathrm{d}V

и первый закон термодинамики

\Delta U=Q+W

Подробное решение

Решение

Вопрос 1. Уравнение состояния идеального газа даёт

\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{Состояние} & P & V & T \\ \hline A & P_A & V_A & T_i \\ B & P_A\dfrac{T_f}{T_i} & V_A & T_f \\[4pt] C & 2P_A & \dfrac{V_A}{2} & T_i \\[4pt] D & P_A & V_A\dfrac{T_f}{T_i} & T_f \end{array} \end{aligned}

На диаграмме $(P,V)$ процесс $A\to B$ изображается вертикальным отрезком, $A\to C$ идёт по изотерме $T_i$ влево, а $A\to D$ — по горизонтали вправо.

Вопрос 2.

Изохорное нагревание $A\to B$ . Поскольку $\mathrm{d}V=0$ ,

W_{AB}=0, \qquad \Delta U_{AB}=\frac32nR(T_f-T_i), \qquad Q_{AB}=\frac32nR(T_f-T_i).

Изотермическое сжатие $A\to C$ . Температура постоянна, поэтому $\Delta U_{AC}=0$ . Кроме того,

W_{AC} =-\int_{V_A}^{V_A/2}\frac{nRT_i}{V}\,\mathrm{d}V =nRT_i\ln2, \qquad Q_{AC}=-nRT_i\ln2.

Изобарное нагревание $A\to D$ . При постоянном давлении $P_A(V_D-V_A)=nR(T_f-T_i)$ , поэтому

W_{AD}=-nR(T_f-T_i), \qquad \Delta U_{AD}=\frac32nR(T_f-T_i), \qquad Q_{AD}=\frac52nR(T_f-T_i).

Вопрос 3. При изохорном процессе вся полученная теплота увеличивает внутреннюю энергию. Во время изотермического сжатия газ получает работу и отдаёт точно такое же количество энергии в форме теплоты. При изобарном процессе газ получает теплоту, его внутренняя энергия увеличивается, а при расширении он совершает работу.

Вопрос 4. При $T_f-T_i=200\ \mathrm{K}$ :

\begin{aligned} \begin{array}{c|r|r|r} \text{Процесс} & W\ (\mathrm{kJ}) & \Delta U\ (\mathrm{kJ}) & Q\ (\mathrm{kJ}) \\ \hline \text{Изохорный }A\to B & 0 & +2{,}49 & +2{,}49 \\ \text{Изотермический }A\to C & +1{,}73 & 0 & -1{,}73 \\ \text{Изобарный }A\to D & -1{,}66 & +2{,}49 & +4{,}16 \end{array} \end{aligned}