Решённая задача по термодинамике

Изоэнтропическое расширение и восстановление фундаментального соотношения

Задача 38 · Урок 7 — Математическая структура: фундаментальные соотношения

фундаментальное соотношение
изоэнтропическое расширение
уравнения состояния
энтропийное представление
условие интегрируемости
молярные величины

Условие

Часть A. Система описывается молярным фундаментальным соотношением

u = \frac{A}{v} e^{s / (3 R)},

где $u$ , $v$ и $s$ — молярные внутренняя энергия, объём и энтропия, $A > 0$ — постоянная, а $R$ — универсальная газовая постоянная. Начальное состояние характеризуется температурой $T_{0}$ и давлением $P_{0}$ .

Выразите $T$ и $P$ через $u$ и $v$ . Выведите отсюда уравнение состояния, связывающее $P$ , $v$ и $T$ .
Система претерпевает изоэнтропическое расширение, пока её давление не уменьшится в восемь раз. Выразите конечную температуру только через $T_{0}$ .

Часть B. Другая система с фиксированным количеством вещества подчиняется двум уравнениям состояния

U = 2 P V, P = B T^{3},

где $B > 0$ — постоянная.

Выразите $1/ T$ и $P / T$ через $U$ и $V$ .
Фундаментальное соотношение $S (U, V)$ может существовать, только если смешанные производные равны: $\partial (1/ T) / \partial V = \partial (P / T) / \partial U$ . Проверьте это условие.
Найдите фундаментальное соотношение $S (U, V)$ с точностью до постоянной. Проверьте, что оно действительно даёт оба уравнения состояния, а затем — что оно экстенсивно.

Подсказка

Часть A:

T = (\partial u / \partial s)_{v}

P = - (\partial u / \partial v)_{s}

; вдоль изоэнтропы

s

фиксирована, и всё выражается через

v

. Часть B:

d S = (1/ T) d U + (P / T) d V

. Сначала проинтегрируйте

(\partial S / \partial U)_{V} = 1/ T

при фиксированном

V

, добавив функцию

f (V)

, затем определите

f

с помощью

(\partial S / \partial V)_{U} = P / T

Подробное решение

Решение

Вопрос 1. При фиксированном

v

производная

e^{s / (3 R)}

по

s

равна

e^{s / (3 R)} / (3 R)

, откуда

T = (\frac{\partial u}{\partial s})_{v} = \frac{A}{v} \frac{e ^{s / (3 R)}}{3 R} = \frac{u}{3 R} .

При фиксированном $s$ производная $v^{- 1/2}$ равна $- \frac{1}{2} v^{- 3/2}$ , откуда

P = - (\frac{\partial u}{\partial v})_{s} = \frac{1}{2} A v^{- 3/2} e^{s / (3 R)} = \frac{u}{2 v} .

Первое соотношение даёт $u = 3 R T$ . Подставляя его во второе, получаем

P = \frac{3 R T}{2 v}, т . е . P v = \frac{3}{2} R T .

Вопрос 2. Вдоль изоэнтропы $s$ постоянна, поэтому $u = A e^{s / (3 R)} v^{- 1/2}$ пропорциональна $v^{- 1/2}$ . Отсюда

T = \frac{u}{3 R} \propto v^{- 1/2}, P = \frac{u}{2 v} \propto v^{- 3/2} .

Уменьшение давления в восемь раз требует

(\frac{v _{f}}{v _{0}})^{- 3/2} = \frac{1}{8} ⟹ (\frac{v _{f}}{v _{0}})^{3/2} = 8 ⟹ \frac{v _{f}}{v _{0}} = 8^{2/3} = 4.

Поскольку температура пропорциональна $v^{- 1/2}$ ,

T_{f} = T_{0} (\frac{v _{f}}{v _{0}})^{- 1/2} = \frac{T _{0}}{4} = \frac{T _{0}}{2} .

Вопрос 3. Два уравнения состояния дают $U = 2 P V = 2 B V T^{3}$ , откуда

T = (\frac{U}{2 B V})^{1/3}, \frac{1}{T} = (\frac{2 B V}{U})^{1/3} = (2 B)^{1/3} V^{1/3} U^{- 1/3} .

Кроме того, $P / T = B T^{2}$ , и после подстановки $T$

\frac{P}{T} = B (\frac{U}{2 B V})^{2/3} = \frac{B ^{1/3}}{2 ^{2/3}} U^{2/3} V^{- 2/3} .

Вопрос 4. Продифференцируем $1/ T$ по $V$ при фиксированном $U$ :

\frac{\partial}{\partial V} (\frac{1}{T}) = \frac{1}{3} (2 B)^{1/3} V^{- 2/3} U^{- 1/3} .

Продифференцируем $P / T$ по $U$ при фиксированном $V$ :

\frac{\partial}{\partial U} (\frac{P}{T}) = \frac{2}{3} \frac{B ^{1/3}}{2 ^{2/3}} U^{- 1/3} V^{- 2/3} .

Поскольку $(2 B)^{1/3} = 2 \cdot 2^{- 2/3} B^{1/3}$ , первый результат можно записать и как $\frac{2}{3} 2^{- 2/3} B^{1/3} V^{- 2/3} U^{- 1/3}$ : обе смешанные производные равны. Следовательно, форма $(1/ T) d U + (P / T) d V$ может быть дифференциалом функции $S (U, V)$ . Два уравнения состояния, выбранные наугад, в общем случае этому условию не удовлетворяют.

Вопрос 5. Проинтегрируем

1/ T

по

U

при фиксированном

V

. Первообразная

U^{- 1/3}

равна

\frac{3}{2} U^{2/3}

, откуда

S (U, V) = \frac{3}{2} (2 B)^{1/3} V^{1/3} U^{2/3} + f (V),

где $f$ — функция только $V$ . Продифференцируем по $V$ :

(\frac{\partial S}{\partial V})_{U} = \frac{3}{2} (2 B)^{1/3} \cdot \frac{1}{3} V^{- 2/3} U^{2/3} + f^{'} (V) = \frac{1}{2} (2 B)^{1/3} U^{2/3} V^{- 2/3} + f^{'} (V) .

Но $\frac{1}{2} (2 B)^{1/3} = 2^{- 2/3} B^{1/3}$ : первый член в точности равен $P / T$ . Следовательно, $f^{'} (V) = 0$ , то есть $f$ постоянна, и

S (U, V) = \frac{3}{2} (2 B V U^{2})^{1/3} + const .

Обратно, производные этой функции дают $1/ T$ и $P / T$ из вопроса 3, а значит, и оба исходных уравнения состояния. Наконец, при умножении $U$ и $V$ на $λ$ произведение $V U^{2}$ умножается на $λ^{3}$ , а его кубический корень — на $λ$ : с точностью до аддитивной постоянной $S$ однородна первой степени и, следовательно, экстенсивна.