Решённая задача по термодинамике

Фотонный газ во Вселенной

Задача 39 · Урок 7 — Математическая структура: фундаментальные соотношения

фотонный газ
излучение
реликтовое излучение
фундаментальное соотношение
адиабатическое расширение
однородная функция
нулевой химический потенциал

Условие

В первые мгновения существования Вселенной вещество представляет собой горячую плазму из ядер, электронов и фотонов. При $T_{i} \approx 3000 K$ образуются первые атомы, и фотоны становятся свободными. Будем считать, что в этот момент фотонный газ находится в равновесии при температуре $T_{i}$ , а затем претерпевает обратимое адиабатическое расширение по мере расширения Вселенной. Примем его фундаментальное соотношение

S (U, V) = \frac{4}{3} a V^{1/4} U^{3/4},

где $a$ — положительная размерная постоянная. Энтропия не зависит от числа фотонов $N$ : это число не сохраняется.

Напомните определение однородной функции первой степени и покажите, что $S$ является такой функцией.
Изобразите качественно зависимость $S$ от $U$ при фиксированном $V$ . Является ли эта функция вогнутой? Прокомментируйте.
Найдите $T$ , $P$ и $μ$ из производных $S$ . Покажите, в частности, что $U = a^{4} V T^{4}$ и $P = U / (3 V)$ , затем прокомментируйте значение $μ$ .
Запишите первое начало для этого газа и примените его к обратимому адиабатическому расширению. Выведите отсюда связь между $U$ и $V$ вдоль этого процесса.
Выведите отсюда, что $V T^{3}$ остаётся постоянным при расширении.
Получите этот результат непосредственно из энтропии, выраженной через $T$ и $V$ .
Сегодня фотонный газ наблюдается при $T_{f} \approx 3 K$ : это реликтовое излучение. Во сколько раз увеличился объём Вселенной с момента испускания?

Подсказка

В энтропийном представлении

1/ T = (\partial S / \partial U)_{V}

P / T = (\partial S / \partial V)_{U}

μ / T = - (\partial S / \partial N)_{U, V}

. В вопросе 4 обратимый адиабатический процесс удовлетворяет условию

d S = 0

, поэтому

d U = - P d V

: разделите переменные.

Подробное решение

Решение

Вопрос 1. Функция

f

нескольких переменных однородна первой степени, если

f (λ x, λ y) = λ f (x, y)

при любом

λ > 0

. Здесь

S (λ U, λV) = \frac{4}{3} a (λV)^{1/4} (λ U)^{3/4} = \frac{4}{3} a λ^{1/4 + 3/4} V^{1/4} U^{3/4} = λ S (U, V) .

Следовательно, энтропия фотонного газа экстенсивна.

Вопрос 2. При фиксированном

V

функция

S

пропорциональна

U^{3/4}

. Её первая производная

(\frac{\partial S}{\partial U})_{V} = a V^{1/4} U^{- 1/4} > 0

положительна: $S$ растёт с $U$ , и температура положительна. Её вторая производная

(\frac{\partial ^{2} S}{\partial U ^{2}})_{V} = - \frac{a}{4} V^{1/4} U^{- 5/4} < 0

отрицательна: $S$ вогнута по $U$ . Кривая выходит из начала координат с вертикальной касательной, а затем изгибается, оставаясь выше своих хорд. Эта вогнутость выражает устойчивость равновесия фотонного газа.

Вопрос 3. Согласно вопросу 2,

\frac{1}{T} = a (\frac{V}{U})^{1/4} ⟹ (\frac{U}{V})^{1/4} = a T ⟹ U = a^{4} V T^{4} .

Производная по $V$ при фиксированном $U$ равна

\frac{P}{T} = (\frac{\partial S}{\partial V})_{U} = \frac{4}{3} a \cdot \frac{1}{4} V^{- 3/4} U^{3/4} = \frac{a}{3} (\frac{U}{V})^{3/4} .

Но $(U / V)^{3/4} = ((U / V)^{1/4})^{3} = a^{3} T^{3}$ , откуда

P = T \cdot \frac{a}{3} \cdot a^{3} T^{3} = \frac{a ^{4} T ^{4}}{3} = \frac{U}{3 V} .

Наконец, $S$ не зависит от $N$ , поэтому $μ = - T (\partial S / \partial N)_{U, V} = 0$ . Химический потенциал фотонов равен нулю: поскольку их число не сохраняется, оно свободно подстраивается при равновесии, и добавление ещё одного фотона ничего не стоит.

Вопрос 4. Поскольку член

μ d N

равен нулю, дифференциальное фундаментальное соотношение записывается как

d U = T d S - P d V

. Для обратимого адиабатического расширения

d S = 0

, поэтому при

P = U / (3 V)

d U = - P d V = - \frac{U}{3 V} d V ⟹ \frac{d U}{U} = - \frac{1}{3} \frac{d V}{V} .

Интегрируя между начальным состоянием и произвольным состоянием в ходе расширения, получаем $ln (U / U_{i}) = - \frac{1}{3} ln (V / V_{i})$ , то есть

U V^{1/3} = const .

Вопрос 5. Заменим $U$ на $a^{4} V T^{4}$ :

a^{4} V T^{4} \cdot V^{1/3} = a^{4} V^{4/3} T^{4} = const .

Поскольку $a$ постоянна, $V^{4/3} T^{4} = (V^{1/3} T)^{4}$ постоянно, а значит, постоянно и $V^{1/3} T$ ; возводя в куб, получаем $V T^{3} = const$ .

Вопрос 6. Выразим

S

через

T

V

, заменив в нём

U

на

a^{4} V T^{4}

S = \frac{4}{3} a V^{1/4} (a^{4} V T^{4})^{3/4} = \frac{4}{3} a V^{1/4} a^{3} V^{3/4} T^{3} = \frac{4}{3} a^{4} V T^{3} .

Обратимое адиабатическое расширение является изоэнтропическим: $S$ постоянна, а значит, постоянно и $V T^{3}$ . Мы непосредственно получаем результат вопроса 5.

Вопрос 7. Поскольку

V T^{3}

сохраняется,

\frac{V _{f}}{V _{i}} = (\frac{T _{i}}{T _{f}})^{3} = (\frac{3000}{3})^{3} = (1 0^{3})^{3} = 1 0^{9} .

С момента испускания объём Вселенной увеличился в миллиард раз, что соответствует увеличению расстояний в $1 0^{3}$ раз. Излучение, испущенное при температуре около $3000 K$ и охлаждённое расширением, — это реликтовое излучение, температура которого сегодня составляет $2, 7 K$ .