Решённая задача по термодинамике

Изменение размера системы

Задача 7 · Урок 3 — Основные понятия

экстенсивность
интенсивность
однородность
площадь поверхности
анализ размерностей

Условие

Обычная однородная система имеет массу $m$ , объём $V$ , число частиц $N$ , внутреннюю энергию $U$ , температуру $T$ и давление $P$ . Здесь предполагается, что $U$ экстенсивна, а дальнодействующими взаимодействиями и краевыми эффектами пренебрегают. Размер системы изменяют при фиксированном интенсивном состоянии: $(m, V, N, U) \mapsto (λm, λV, λ N, λ U)$ , где $λ > 0$ , а $T$ и $P$ остаются неизменными.

Определите степень однородности величин $m / V$ , $V / N$ , $U / N$ , $P V$ , $U^{2} / V$ и $V^{1/3}$ . Какие из них экстенсивны, какие интенсивны, а какие не являются ни теми, ни другими?
Предложены два выражения для энергии: $U_{1} = a N k_{B} T$ и $U_{2} = a N^{2} k_{B} T$ , где $a > 0$ — безразмерная величина, не зависящая от размера системы. Проверьте их размерность, а затем определите, какое из них согласуется с предположением об экстенсивности. Напомните, почему эти две проверки различны.
Для шара радиуса $R$ выразите площадь поверхности $A$ через объём $V$ . Определите степени однородности $A$ и $A / V$ при увеличении одного шара при фиксированной плотности.
Сравните площадь поверхности шара объёмом $8 V$ с суммарной площадью поверхности восьми отдельных шаров объёмом $V$ каждый. Объясните, почему «увеличение объекта» и «размещение рядом его копий» дают разный результат для площади его поверхностей раздела.

Подсказка

Замените каждую величину её значением после изменения масштаба. Для однородной величины степени

k

должен получиться множитель

λ^{k}

. Для шара исходите из

V = 4 π R^{3} /3

A = 4 π R^{2}

Подробное решение

Решение

Вопрос 1. Масштабные множители перемножаются в произведении и делятся в частном. В явном виде

\frac{λm}{λV} = \frac{m}{V}, \frac{λV}{λ N} = \frac{V}{N}, \frac{λ U}{λ N} = \frac{U}{N} .

Эти три отношения имеют степень $0$ и, следовательно, интенсивны. Далее,

P (λV) = λ P V, \frac{( λ U ) ^{2}}{λV} = λ \frac{U ^{2}}{V}, (λV)^{1/3} = λ^{1/3} V^{1/3} .

Таким образом, $P V$ и $U^{2} / V$ имеют степень $1$ , то есть экстенсивны в смысле заданного закона масштабирования; $V^{1/3}$ имеет степень $1/3$ и поэтому не является ни экстенсивной, ни интенсивной величиной. Степень однородности ничего не говорит о единицах измерения: $P V$ выражается в джоулях, а $U^{2} / V$ — в $J^{2} m^{- 3}$ .

Вопрос 2.

N

— безразмерное число, а

k_{B}

выражается в

J K^{- 1}

. Следовательно, оба выражения имеют размерность энергии. Однако

U_{1} (λ N, T) = λ U_{1} (N, T), U_{2} (λ N, T) = λ^{2} U_{2} (N, T) .

Лишь $U_{1}$ согласуется с принятым предположением об экстенсивности. Таким образом, формула может иметь правильные единицы и при этом неправильно зависеть от размера системы. Это не исключает неэкстенсивную энергию вообще: $U_{2}$ исключается именно предположением, принятым в этой задаче.

Вопрос 3. Выразим радиус и подставим его в формулу для площади:

R = (\frac{3 V}{4 π})^{1/3}, A = 4 π (\frac{3 V}{4 π})^{2/3} = (36 π)^{1/3} V^{2/3} .

Следовательно, $A (λV) = λ^{2/3} A (V)$ : площадь имеет степень $2/3$ . Деля на $λV$ , получаем $A (λV) / (λV) = λ^{- 1/3} A (V) / V$ . Отношение площади к объёму имеет степень $- 1/3$ и уменьшается по мере роста шара.

Вопрос 4. Для одного шара

A (8 V) = 8^{2/3} A (V) = 4 A (V)

. Напротив, восемь отдельных шаров имеют суммарную площадь

8 A (V)

. Таким образом, их суммарная площадь вдвое больше. Увеличение компактного объекта сохраняет его форму и уменьшает относительный вклад поверхностей раздела. Размещение копий рядом сохраняет все поверхности раздела копий. При изучении поверхностных вкладов необходимо уточнять, о какой геометрической операции идёт речь; именно этими вкладами пренебрегают в экстенсивном описании объёма.