Решённая задача по термодинамике

Подсчёт независимых переменных

Задача 8 · Урок 3 — Основные понятия

уравнение состояния
степени свободы
ограничения
координаты состояния

Условие

Равновесные состояния идеального газа описываются четырьмя положительными переменными $(P, V, T, n)$ , связанными соотношением $P V = n R T$ . Требуется найти размерность $d = q - r$ множества доступных состояний, где $q$ — число используемых переменных, а $r$ — число независимых соотношений.

Найдите $q$ , $r$ и $d$ , когда $n$ может меняться. Предложите три независимые координаты и выразите четвёртую переменную.
Повторите подсчёт для фиксированного количества вещества $n = n_{0}$ , затем при дополнительном условии $T = T_{0}$ и, наконец, при $V = V_{0}$ . На каждом этапе предложите выбор координат для доступных состояний.
Студент добавляет к $P V = n R T$ соотношение $P = n R T / V$ и насчитывает два уравнения состояния. Объясните его ошибку.
Два идеальных газа с фиксированными количествами вещества $n_{1}, n_{2}$ занимают отсеки сосуда полным объёмом $V_{tot}$ . Их разделяет диатермический поршень, который движется без трения и не испытывает внешней силы. Общая температура не задана. Подсчитайте число независимых соотношений между $(P_{1}, V_{1}, T_{1}, P_{2}, V_{2}, T_{2})$ в равновесии. Выразите объёмы и общее давление через одну оставшуюся координату.

Подсказка

Сохраняйте четыре исходные переменные во всех трёх подсчётах вопроса 2 и на каждом этапе добавляйте одно ограничение. Для поршня используйте оба уравнения состояния, полный объём, тепловое равновесие и механическое равновесие.

Подробное решение

Решение

Вопрос 1. Используются

q = 4

переменные и одно независимое соотношение, то есть

r = 1

d = 3

. Можно выбрать

(V, T, n)

; тогда оставшаяся переменная равна

P = n R T / V

. Условие

V > 0

допускает это деление. Вопрос 2. Для газа, образующего замкнутую систему, соотношениями являются

P V = n R T

n = n_{0}

, поэтому

r = 2

d = 4 - 2 = 2

. Подходит пара

(V, T)

, причём

P = n_{0} R T / V

. Если с самого начала исключить

n

из списка переменных, получим

q = 3

r = 1

и, следовательно, то же

d = 2

. Дополнительное ограничение

T = T_{0}

увеличивает

r

до

3

и даёт

d = 1

. Для параметризации состояний достаточно объёма

V

, поскольку

P = n_{0} R T_{0} / V

. Наконец, условие

V = V_{0}

увеличивает

r

до

4

и даёт

d = 0

: остаётся единственное состояние с

P = n_{0} R T_{0} / V_{0}

. Для этого последнего множества свободные координаты не нужны. Эти ограничения сужают множество доступных состояний, но не уменьшают число переменных, необходимых для описания газа без ограничений. Вопрос 3. Поскольку

V > 0

, вторая запись получается делением первой на

V

. Любое состояние, удовлетворяющее одной из них, автоматически удовлетворяет и другой. Поэтому второе соотношение не исключает ни одного дополнительного состояния и не увеличивает

r

. Считать нужно независимые ограничения, а не строки уравнений. Вопрос 4. Шесть переменных удовлетворяют пяти соотношениям

P_{1} V_{1} = n_{1} R T_{1}, P_{2} V_{2} = n_{2} R T_{2}, V_{1} + V_{2} = V_{tot}, T_{1} = T_{2}, P_{1} = P_{2} .

Положим $T = T_{1} = T_{2}$ и $P = P_{1} = P_{2}$ . Сложение уравнений состояния даёт

P (V_{1} + V_{2}) = (n_{1} + n_{2}) R T, P = \frac{( n _{1} + n _{2} ) R T}{V _{tot}} .

Подставляя это в каждое уравнение состояния, получаем

V_{1} = \frac{n _{1} R T}{P} = \frac{n _{1}}{n _{1} + n _{2}} V_{tot}, V_{2} = \frac{n _{2} R T}{P} = \frac{n _{2}}{n _{1} + n _{2}} V_{tot} .

Множитель $R T$ сокращается в выражениях для объёмов, но не в выражении для давления. Температура $T > 0$ остаётся свободной и определяет все остальные переменные: пять соотношений действительно независимы, и $d = 6 - 5 = 1$ . Дополнительное энергетическое условие могло бы выделить конкретное состояние; здесь оно не задано.