Решённая задача по термодинамике

Равновесие при ограничениях или стационарное состояние?

Задача 6 · Урок 3 — Основные понятия

термодинамическое равновесие
стационарное состояние
ограничения
потоки
открытая система

Условие

Рассмотрим три идеализированные ситуации, пренебрегая силой тяжести.

Два газа, каждый из которых находится во внутреннем равновесии, заключены в изолированный сосуд. Их разделяет жёсткая адиабатическая непроницаемая перегородка. Их температуры $T_{1}, T_{2}$ и давления $P_{1}, P_{2}$ различны.
Металлический стержень своими концами соприкасается с двумя термостатами при $T_{H} > T_{C}$ . Его боковая поверхность теплоизолирована. Распределение температуры в стержне больше не меняется со временем, но через стержень проходит ненулевая тепловая мощность.
Бак наполняется водой и опорожняется с одним и тем же постоянным массовым расходом. Уровень воды в баке, её температура и течение в каждой точке больше не меняются со временем.

Изобразите схему каждой ситуации, выделив исследуемую систему и указав обмены через её границу.
Классифицируйте каждую ситуацию: термодинамическое равновесие при наложенных ограничениях или неравновесное стационарное состояние? Обоснуйте ответ, исходя из потоков, а не только из отсутствия изменений во времени.
В первой ситуации перегородку делают диатермической, сохраняя её жёсткой и непроницаемой. Какая эволюция становится возможной? Какое равенство должно выполняться в конечном равновесном состоянии? Обязательно ли давления должны выровняться?
Пусть теперь перегородка остаётся адиабатической и непроницаемой, но её заменяют подвижным поршнем, который движется без трения, не испытывает внешней силы и изначально покоится. Какая разность приводит его в движение? Если достигается конечное состояние покоя, какое равенство налагает механическое равновесие?

Подсказка

Ограничение может поддерживать разность температур или давлений, не допуская потоков. Постоянство величин может обеспечивать и входящий поток, равный выходящему, но это не равновесие.

Подробное решение

Решение

Вопрос 1. Для двух газов границу проводят вокруг всего сосуда: через его внешнюю границу не происходит никакого обмена, и через перегородку ничего не передаётся. По обе стороны перегородки указывают

(T_{1}, P_{1})

(T_{2}, P_{2})

. Для одного лишь стержня тепловые стрелки входят со стороны горячего конца и выходят со стороны холодного. Для контрольного объёма, ограниченного баком, одна стрелка вещества входит через подачу, а другая выходит через слив; это вещество переносит также энергию. Вопрос 2. Оба газа находятся в равновесии при наложенных ограничениях. Перегородка запрещает теплообмен, механическое перемещение и обмен веществом. Поэтому разности

T_{1} - T_{2}

P_{1} - P_{2}

не вызывают никакой допустимой эволюции. Стержень находится в стационарном, но неравновесном состоянии: через него непрерывно проходит тепловая энергия. Постоянство температуры во времени в каждой точке не означает ни однородности температуры в пространстве, ни отсутствия потоков. Бак также находится в неравновесном стационарном состоянии. Если

\overset{m}{˙}_{in}

\overset{m}{˙}_{out}

— положительные массовые расходы, то баланс массы даёт

\frac{d m}{d t} = \overset{m}{˙}_{in} - \overset{m}{˙}_{out} = 0.

Масса воды в баке постоянна, но каждый из двух расходов отличен от нуля. Вода обновляется: выбранная система открыта.

Вопрос 3. Снятие теплоизоляции допускает передачу теплоты от горячего газа к холодному. В конечном равновесном состоянии

T_{1, f} = T_{2, f}

. Поскольку перегородка остаётся жёсткой, она может выдерживать разность давлений: ничто не требует

P_{1, f} = P_{2, f}

. Например, для двух идеальных газов отношения

n_{1} / V_{1}

n_{2} / V_{2}

могут различаться, а значит, могут различаться и давления

n_{1} R T_{f} / V_{1}

n_{2} R T_{f} / V_{2}

. Вопрос 4. Если площадь сечения поршня равна

A

, то равнодействующая сил давления, направленная от 1 к 2, равна

F = A (P_{1} - P_{2})

. Вначале она отлична от нуля и приводит поршень в движение. В конечном состоянии покоя условие

F = 0

даёт

P_{1, f} = P_{2, f}

. Адиабатичность не требует равенства температур. Существование конечного состояния покоя здесь носит условный характер: один лишь баланс сил не описывает затухания возможных колебаний.