Решённая задача по термодинамике

Интегрирование дифференциальной формы вдоль пути

Задача 6 · Урок 4 — Первое начало термодинамики

дифференциальная форма
точный дифференциал
критерий Шварца
криволинейный интеграл

Рабочая версия — эта задача ещё проходит проверку.

Условие

Рассмотрим две дифференциальные формы

\omega_1 = y\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y, \qquad \omega_2 = y\,\mathrm{d}x,

и три пути, соединяющие начало координат $O(0,0)$ с точкой $M(1,1)$ : путь $\gamma_1$ , состоящий из горизонтального отрезка $O\to(1,0)$ , а затем вертикального отрезка $(1,0)\to M$ ; путь $\gamma_2$ , состоящий из вертикального отрезка $O\to(0,1)$ , а затем горизонтального отрезка $(0,1)\to M$ ; и путь $\gamma_3$ — прямолинейный отрезок, непосредственно соединяющий $O$ и $M$ .

Покажите, что $\omega_1$ является точной формой, найдя функцию $f$ , такую что $\omega_1 = \mathrm{d}f$ .
Вычислите $\int_{\gamma_1}\omega_1$ и $\int_{\gamma_2}\omega_1$ , параметризуя каждый отрезок. Получите результат повторно без вычислений.
Примените критерий Шварца к $\omega_2$ . Какой вывод можно сделать?
Вычислите $\int_{\gamma_1}\omega_2$ , $\int_{\gamma_2}\omega_2$ и $\int_{\gamma_3}\omega_2$ . Прокомментируйте результат.

Подсказка

На горизонтальном отрезке

\mathrm{d}y = 0

, а на вертикальном

\mathrm{d}x = 0

: каждый интеграл сводится к обычному определённому интегралу.

Подробное решение

Решение

Вопрос 1. Подходит

f(x,y) = xy

, поскольку

\partial f/\partial x = y

\partial f/\partial y = x

Вопрос 2. Для кривой, параметризованной как $t\mapsto\bigl(x(t),y(t)\bigr)$ , имеем

\int_\gamma\omega_1 = \int \left[y(t)x'(t)+x(t)y'(t)\right],\mathrm{d}t.

Путь $\gamma_1$ является объединением двух отрезков. На первом $x(t)=t$ и $y(t)=0$ , где $t\in[0,1]$ ; следовательно, $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ и $\mathrm{d}y=0$ . На втором $x(t)=1$ и $y(t)=t$ , также при $t\in[0,1]$ ; следовательно, $\mathrm{d}x=0$ и $\mathrm{d}y=\mathrm{d}t$ . Поэтому

\begin{aligned} I_1 = \int_{\gamma_1}\omega_1 &= \int_0^1\left(0\times 1+t\times 0\right)\,\mathrm{d}t + \int_0^1\left(t\times 0+1\times 1\right)\,\mathrm{d}t \\ &= 0+\int_0^1\mathrm{d}t = 1. \end{aligned}

Для $\gamma_2$ первый отрезок параметризуется как $x(t)=0$ , $y(t)=t$ , а второй — как $x(t)=t$ , $y(t)=1$ , причём в обоих случаях $t\in[0,1]$ . Отсюда

\begin{aligned} I_2 = \int_{\gamma_2}\omega_1 &= \int_0^1\left(t\times 0+0\times 1\right)\,\mathrm{d}t + \int_0^1\left(1\times 1+t\times 0\right)\,\mathrm{d}t \\ &= 0+\int_0^1\mathrm{d}t = 1. \end{aligned}

Оба значения совпадают. Это можно было предвидеть без вычислений: поскольку $\omega_1=\mathrm{d}f$ при $f(x,y)=xy$ , интеграл зависит только от концов пути,

\int_\gamma\omega_1=f(M)-f(O)=f(1,1)-f(0,0)=1.

Вопрос 3. Запишем $\omega_2=A(x,y)\,\mathrm{d}x+B(x,y)\,\mathrm{d}y$ . Здесь $A(x,y)=y$ и $B(x,y)=0$ . Если бы форма была точной, критерий Шварца давал бы

\frac{\partial A}{\partial y}=\frac{\partial B}{\partial x}.

Но $\partial A/\partial y=1$ , тогда как $\partial B/\partial x=0$ . Смешанные производные различны, поэтому $\omega_2$ не является точной формой. Её интеграл может зависеть от пути между $O$ и $M$ , что подтверждает следующий расчёт.

Вопрос 4. Поскольку $\omega_2=y\,\mathrm{d}x$ , вклад в интеграл может дать только изменение $x$ при ненулевом значении $y$ . Используя предыдущие параметризации, для $\gamma_1$ получаем

\begin{aligned} J_1 =\int_{\gamma_1}\omega_2 &=\int_0^1 0\times 1\,\mathrm{d}t +\int_0^1 t\times 0\,\mathrm{d}t \\ &=0. \end{aligned}

На $\gamma_2$ первый отрезок удовлетворяет $x(t)=0$ , поэтому $\mathrm{d}x=0$ ; на втором $x(t)=t$ , $y(t)=1$ и $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ . Следовательно,

\begin{aligned} J_2 =\int_{\gamma_2}\omega_2 &=\int_0^1 t\times 0\,\mathrm{d}t +\int_0^1 1\times 1\,\mathrm{d}t \\ &=1. \end{aligned}

Наконец, диагональный отрезок $\gamma_3$ параметризуется явно:

x(t)=t,\qquad y(t)=t,\qquad t\in[0,1],

откуда $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ и $\mathrm{d}y=\mathrm{d}t$ . Поэтому

J_3 =\int_{\gamma_3}\omega_2 =\int_0^1 y(t)x'(t)\,\mathrm{d}t =\int_0^1 t\,\mathrm{d}t =\frac12.

Три пути имеют одинаковые концы, но дают три различных значения: $J_1=0$ , $J_2=1$ и $J_3=1/2$ . Именно такая зависимость от пути характерна для неточной дифференциальной формы.