Интегрирование дифференциальной формы вдоль пути

Вопрос 1. Подходит $f(x,y) = xy$, поскольку $\partial f/\partial x = y$ и $\partial f/\partial y = x$. Вопрос 2. Для кривой, параметризованной как $t\mapsto\bigl(x(t),y(t)\bigr)$, имеем

$$\int_\gamma\omega_1 = \int \left[y(t)x'(t)+x(t)y'(t)\right],\mathrm{d}t.$$

Путь $\gamma_1$ является объединением двух отрезков. На первом $x(t)=t$ и $y(t)=0$, где $t\in[0,1]$; следовательно, $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ и $\mathrm{d}y=0$. На втором $x(t)=1$ и $y(t)=t$, также при $t\in[0,1]$; следовательно, $\mathrm{d}x=0$ и $\mathrm{d}y=\mathrm{d}t$. Поэтому

$$\begin{aligned} I_1 = \int_{\gamma_1}\omega_1 &= \int_0^1\left(0\times 1+t\times 0\right)\,\mathrm{d}t + \int_0^1\left(t\times 0+1\times 1\right)\,\mathrm{d}t \\ &= 0+\int_0^1\mathrm{d}t = 1. \end{aligned}$$

Для $\gamma_2$ первый отрезок параметризуется как $x(t)=0$, $y(t)=t$, а второй — как $x(t)=t$, $y(t)=1$, причём в обоих случаях $t\in[0,1]$. Отсюда

$$\begin{aligned} I_2 = \int_{\gamma_2}\omega_1 &= \int_0^1\left(t\times 0+0\times 1\right)\,\mathrm{d}t + \int_0^1\left(1\times 1+t\times 0\right)\,\mathrm{d}t \\ &= 0+\int_0^1\mathrm{d}t = 1. \end{aligned}$$

Оба значения совпадают. Это можно было предвидеть без вычислений: поскольку $\omega_1=\mathrm{d}f$ при $f(x,y)=xy$, интеграл зависит только от концов пути,

$$\int_\gamma\omega_1=f(M)-f(O)=f(1,1)-f(0,0)=1.$$

Вопрос 3. Запишем $\omega_2=A(x,y)\,\mathrm{d}x+B(x,y)\,\mathrm{d}y$. Здесь $A(x,y)=y$ и $B(x,y)=0$. Если бы форма была точной, критерий Шварца давал бы

$$\frac{\partial A}{\partial y}=\frac{\partial B}{\partial x}.$$

Но $\partial A/\partial y=1$, тогда как $\partial B/\partial x=0$. Смешанные производные различны, поэтому $\omega_2$ не является точной формой. Её интеграл может зависеть от пути между $O$ и $M$, что подтверждает следующий расчёт.

Вопрос 4. Поскольку $\omega_2=y\,\mathrm{d}x$, вклад в интеграл может дать только изменение $x$ при ненулевом значении $y$. Используя предыдущие параметризации, для $\gamma_1$ получаем

$$\begin{aligned} J_1 =\int_{\gamma_1}\omega_2 &=\int_0^1 0\times 1\,\mathrm{d}t +\int_0^1 t\times 0\,\mathrm{d}t \\ &=0. \end{aligned}$$

На $\gamma_2$ первый отрезок удовлетворяет $x(t)=0$, поэтому $\mathrm{d}x=0$; на втором $x(t)=t$, $y(t)=1$ и $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$. Следовательно,

$$\begin{aligned} J_2 =\int_{\gamma_2}\omega_2 &=\int_0^1 t\times 0\,\mathrm{d}t +\int_0^1 1\times 1\,\mathrm{d}t \\ &=1. \end{aligned}$$

Наконец, диагональный отрезок $\gamma_3$ параметризуется явно:

$$x(t)=t,\qquad y(t)=t,\qquad t\in[0,1],$$

откуда $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ и $\mathrm{d}y=\mathrm{d}t$. Поэтому

$$J_3 =\int_{\gamma_3}\omega_2 =\int_0^1 y(t)x'(t)\,\mathrm{d}t =\int_0^1 t\,\mathrm{d}t =\frac12.$$

Три пути имеют одинаковые концы, но дают три различных значения: $J_1=0$, $J_2=1$ и $J_3=1/2$. Именно такая зависимость от пути характерна для неточной дифференциальной формы.