Решённая задача по термодинамике

Определение удельной теплоёмкости металла методом смешивания

Задача 4 · Урок 2 — История термодинамики и калориметрии

калориметрия
метод смешивания
удельная теплоёмкость
калориметр
водяной эквивалент

Условие

Как это делал Джозеф Блэк уже в XVIII веке, требуется измерить удельную теплоёмкость $c_m$ неизвестного металла методом смешивания. Образец массой $m=0{,}150\,\text{kg}$ нагревают до $T_m=95\,^\circ\text{C}$ и быстро погружают в калориметр с $m_e=0{,}250\,\text{kg}$ воды, для которой $c_e=4{,}18\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}$ и $T_e=18\,^\circ\text{C}$ . Измеренная температура равновесия равна $T_{eq}=22\,^\circ\text{C}$ . Сначала теплоёмкостью сосуда, мешалки и термометра пренебрегают.

Записать сохранение энергии для изолированной системы «металл–вода», оставив $c_m$ единственной неизвестной.
Вывести выражение для $c_m$ и вычислить его. Какому распространённому металлу соответствует результат? Справочные значения в $\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}$ : алюминий $9{,}0\times10^2$ , железо $4{,}5\times10^2$ , медь $3{,}9\times10^2$ , свинец $1{,}3\times10^2$ .
Сосуд поглощает часть теплоты. Этот эффект описывается водяным эквивалентом $\mu=1{,}5\times10^{-2}\,\text{kg}$ : калориметр ведёт себя как дополнительная масса воды $\mu$ . Повторно вычислить $c_m$ и объяснить направление поправки.
Почему образец необходимо погружать быстро, а калориметр хорошо изолировать от окружающего воздуха?

Подсказка

Металл отдаёт

Q_m=mc_m(T_m-T_{eq})

, полностью получаемое водой и, в вопросе 3, калориметром:

Q_m=(m_e+\mu)c_e(T_{eq}-T_e)

Подробное решение

Решение

1. Для изолированной системы

mc_m(T_m-T_{eq})=m_ec_e(T_{eq}-T_e).

2. Следовательно,

c_m=\frac{m_ec_e(T_{eq}-T_e)}{m(T_m-T_{eq})} =\frac{0{,}250\times4{,}18\times10^3\times(22-18)}{0{,}150\times(95-22)} \approx3{,}82\times10^2\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}.

Это значение очень близко к значению для меди.

3. С учётом водяного эквивалента

c_m=\frac{(m_e+\mu)c_e(T_{eq}-T_e)}{m(T_m-T_{eq})} =\frac{(0{,}250+0{,}015)\times4{,}18\times10^3\times4}{0{,}150\times73} \approx4{,}05\times10^2\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}.

Поправка увеличивает $c_m$ : без учёта сосуда занижались реально отданная металлом теплота и его удельная теплоёмкость.

4. Метод предполагает изолированную систему в течение всего измерения. Быстрое погружение ограничивает теплообмен горячего образца с воздухом до попадания в воду, а хорошая изоляция уменьшает потери при установлении равновесия. Любой неучтённый поток теплоты искажает баланс и найденное $c_m$ . Именно такую экспериментальную тщательность проявляли Блэк, а позднее Лавуазье и Лаплас в своём ледяном калориметре.