Решённая задача по термодинамике

Адиабатическое сжатие: постепенное или резкое

Задача 24 · Урок 5 — Применение к идеальному газу

адиабатическое сжатие
обратимый процесс
необратимый процесс
постоянное внешнее давление
работа

Условие

Эта задача — не просто классика: она также имеет принципиальное значение для демонстрации одного из различий между обратимым и необратимым процессами (см. также урок 6).

Рассмотрим $n$ молей идеального газа с постоянными теплоёмкостями и отношением $γ = c_{P} / c_{V} > 1$ , находящегося в вертикальном теплоизолированном цилиндре сечением $S$ , закрытом теплоизолированным поршнем пренебрежимо малой массы, способным двигаться без трения. Снаружи действует атмосферное давление $P_{0}$ , приложенное к верхней поверхности поршня. Поэтому в начальном состоянии равновесия давление газа также равно $P_{0}$ , а его состояние имеет вид

A = (P_{0}, V_{0}, T_{0}) .

Имеется дополнительный груз общей массой $M$ . Когда он полностью помещён на поршень, внешнее давление равно

P_{1} = P_{0} + \frac{M g}{S} = x P_{0}, x > 1.

Сравним два опыта: либо массу $M$ разделяют на большое число малых грузов, которые добавляют по одному, каждый раз дожидаясь установления нового равновесия; либо всю массу $M$ помещают на поршень сразу. Затем груз снимают тем же способом: либо песчинка за песчинкой, либо весь сразу.

Оба опыта начинаются с одного и того же начального состояния A, показанного в центре: в этот момент на поршень действует только атмосферное давление P_0. Слева дополнительный груз общей массой M помещают на поршень песчинка за песчинкой, так что P_ ext возрастает постепенно; снимая груз тем же способом, проходят этот путь в обратном направлении. Справа ту же массу M помещают на поршень сразу: P_ ext резко изменяется от P_0 до P_1. В обоих опытах по сжатию P_1=P_0+Mg/ S=xP_0. — Рисунок 1. Оба опыта начинаются с одного и того же начального состояния $A$ , показанного в центре: в этот момент на поршень действует только атмосферное давление $P_{0}$ . Слева дополнительный груз общей массой $M$ помещают на поршень песчинка за песчинкой, так что $P_{ext}$ возрастает постепенно; снимая груз тем же способом, проходят этот путь в обратном направлении. Справа ту же массу $M$ помещают на поршень сразу: $P_{ext}$ резко изменяется от $P_{0}$ до $P_{1}$ . В обоих опытах по сжатию $P_{1} = P_{0} + M g / S = x P_{0}$ .

Дополнительный груз добавляют очень постепенно, так что внешнее давление медленно возрастает от $P_{0}$ до $P_{1}$ . Обоснуйте, что в каждый момент давление $P$ газа равно внешнему давлению $P_{ext}$ . Какой закон можно тогда использовать для связи последовательных состояний газа? Выразите $P_{B} / P_{0}$ , $T_{B} / T_{0}$ и $V_{B} / V_{0}$ через $x$ и $γ$ .
Теперь начнём из состояния $B$ и будем снимать дополнительный груз очень постепенно, песчинка за песчинкой, пока внешнее давление снова не станет равным $P_{0}$ . Используя тот же закон, что и в предыдущем вопросе, покажите, что газ в точности возвращается в начальное состояние $A$ .
Снова начнём из $A$ и на этот раз поместим всю массу $M$ сразу: внешнее давление резко принимает постоянное значение $P_{1}$ . Полностью определите конечное состояние $B^{'}$ , а также $W_{A B^{'}}$ , $Q_{A B^{'}}$ и $Δ U_{A B^{'}}$ .
Сначала рассмотрите пример $γ = 5/3$ и $x = 2$ , чтобы численно сравнить $T_{B^{'}}$ и $T_{B}$ . Затем проведите аналитическое сравнение для любых $γ > 1$ и $x > 1$ , после чего сравните $V_{B^{'}}$ и $V_{B}$ . Какое из двух сжатий сильнее нагревает газ и какое сильнее его сжимает?
Начиная из $B^{'}$ , резко снимем весь дополнительный груз: внешнее давление снова станет равным атмосферному давлению $P_{0}$ . Определите конечное состояние $B^{''}$ . Установите, больше или меньше $T_{B^{''}}$ и $V_{B^{''}}$ своих начальных значений.
Составьте энергетический баланс для процесса туда и обратно $A \to B^{'} \to B^{''}$ . Объясните, чем урок 6 дополнит это сравнение.

Подсказка

Для резкого процесса используйте

W = - P_{ext} (V_{f} - V_{i})

и только уравнение состояния для начального и конечного равновесных состояний. Для сравнения

B

B^{'}

можно исследовать логарифм отношения

T_{B^{'}} / T_{B}

Подробное решение

Решение

Напомним, что

c_{V} = \frac{R}{γ - 1}

. Вопрос 1. Дополнительный груз разделён на достаточно малые части, и каждое новое равновесие устанавливается до добавления следующей: поэтому газ проходит через непрерывную последовательность равновесных состояний, то есть процесс является квазистатическим. Поскольку поршень имеет пренебрежимо малую массу и движется без трения, условие механического равновесия в каждый момент даёт

P S = P_{ext} S

, то есть

P = P_{ext}

. Поскольку стенки теплоизолированы,

δ Q = 0

. В этих условиях можно использовать законы Лапласа. Две удобные формы для состояний

A

B

имеют вид

P_{0} V_{0}^{γ} = P_{B} V_{B}^{γ}, T_{0}^{γ} P_{0}^{1 - γ} = T_{B}^{γ} P_{B}^{1 - γ} .

Поскольку $P_{B} = P_{1} = x P_{0}$ , первое соотношение непосредственно даёт $V_{B} / V_{0} = x^{- 1/ γ}$ , а второе даёт $T_{B} / T_{0} = x^{(γ - 1) / γ}$ . В итоге $P_{B} / P_{0} = x$ , $T_{B} / T_{0} = x^{(γ - 1) / γ}$ и $V_{B} / V_{0} = x^{- 1/ γ}$ .

Вопрос 2. При постепенном снятии дополнительного груза газ остаётся в механическом равновесии с внешней средой и движется по той же адиабате Лапласа, но в обратном направлении. В конце

P_{f} = P_{0}

. Соотношения Лапласа тогда дают

T_{f} = T_{B} (\frac{P _{0}}{P _{1}})^{(γ - 1) / γ} = T_{0} x^{(γ - 1) / γ} x^{- (γ - 1) / γ} = T_{0},

V_{f} = V_{B} (\frac{P _{1}}{P _{0}})^{1/ γ} = V_{0} x^{- 1/ γ} x^{1/ γ} = V_{0} .

Таким образом, газ в точности возвращается в состояние $A = (P_{0}, V_{0}, T_{0})$ . Процесс можно провести в обоих направлениях, проходя через одну и ту же последовательность равновесных состояний: такой процесс называется обратимым.

Вопрос 3. Законы Лапласа здесь применять нельзя: во время этого резкого процесса газ не проходит через последовательность равновесных состояний. В ходе процесса в выражение для работы входит только постоянное внешнее давление

P_{1}

W_{A B^{'}} = - P_{1} (V_{B^{'}} - V_{0})

. В конечном состоянии равновесия

P_{B^{'}} = P_{1}

. Используя

P_{0} V_{0} = n R T_{0}

P_{1} V_{B^{'}} = n R T_{B^{'}}

Q_{A B^{'}} = 0

Δ U_{A B^{'}} = n c_{V} (T_{B^{'}} - T_{0})

, из первого закона получаем

T_{B^{'}} = T_{0} \frac{1 + ( γ - 1 ) x}{γ} .

Положим

θ = \frac{1 + ( γ - 1 ) x}{γ} .

Тогда

P_{B^{'}} = x P_{0}, T_{B^{'}} = θ T_{0}, V_{B^{'}} = \frac{θ}{x} V_{0} .

Вопрос 4. Сначала рассмотрим пример $γ = 5/3$ и $x = 2$ . При постепенном сжатии $T_{B} / T_{0} = 2^{2/5} ≃ 1, 32$ , тогда как при резком сжатии

T_{B^{'}} / T_{0} = θ = [1 + (2/3) \times 2] / (5/3) = 7/5 = 1, 40.

В этом примере резкое сжатие сильнее нагревает газ. Покажем, что этот результат справедлив в общем случае. Положим

f (x) = ln (\frac{T _{B^{'}}}{T _{B}}) = ln (\frac{1 + ( γ - 1 ) x}{γ}) - \frac{γ - 1}{γ} ln x .

Имеем $f (1) = 0$ , и

f^{'} (x) = \frac{γ - 1}{1 + ( γ - 1 ) x} - \frac{γ - 1}{γ x} = \frac{( γ - 1 ) ( x - 1 )}{γ x [ 1 + ( γ - 1 ) x ]}

При $γ > 1$ и $x > 1$ все множители в знаменателе положительны и $f^{'} (x) > 0$ . Следовательно, $f (x) > f (1) = 0$ , поэтому $T_{B^{'}} / T_{B} > 1$ , то есть $T_{B^{'}} > T_{B}$ . Оба состояния имеют одинаковое давление $P_{1}$ ; следовательно, уравнение состояния идеального газа также даёт $V_{B^{'}} > V_{B}$ . Резкое сжатие сильнее нагревает газ, но сжимает его меньше, чем постепенное сжатие.

Вопрос 5. При резком снятии дополнительного груза внешнее давление изменяется от

P_{1}

до

P_{0} = P_{1} / x

. Поэтому повторим расчёт вопроса 3, заменив отношение давлений

x

на обратную величину

1/ x

. Тогда результат вопроса 3 принимает вид

\frac{T _{B^{''}}}{T _{B^{'}}} = \frac{1 + ( γ - 1 ) P _{0} / P _{1}}{γ} = \frac{1 + ( γ - 1 ) / x}{γ} .

Положив

φ = \frac{1 + ( γ - 1 ) / x}{γ},

получаем

P_{B^{''}} = P_{0}, T_{B^{''}} = θ φ T_{0}, V_{B^{''}} = θ φ V_{0} .

Но

θ φ - 1 = \frac{γ - 1}{γ ^{2}} (x + \frac{1}{x} - 2) .

В рассматриваемом случае $x > 1$ , поэтому $x > 0$ и $x + 1/ x - 2 = (x - 1)^{2} / x > 0$ . Поскольку $γ > 1$ , действительно имеем $θ φ - 1 > 0$ . Следовательно,

T_{B^{''}} > T_{0} V_{B^{''}} > V_{0}

После цикла изменения внешнего давления газ не возвращается в состояние $A$ . Это отклонение является первым признаком необратимости: возвращения внешнего ограничения к начальному значению недостаточно, чтобы вернуть систему в начальное состояние.

Вопрос 6. Резкое расширение является адиабатическим, поэтому для всего процесса туда и обратно

Q_{tot} = 0, W_{tot} = Δ U_{tot} = n c_{V} T_{0} (θ φ - 1) > 0.

В результате внешних манипуляций давление возвращается к начальному значению, но газ получает положительную суммарную работу и остаётся более горячим и более расширенным. В уроке 6 те же состояния будут рассмотрены снова, чтобы показать, что обратимое сжатие не сопровождается производством энтропии, тогда как в каждом из двух резких процессов энтропия производится.