Exercício resolvido de termodinâmica

Verificar uma relação de Maxwell numa adiabática

Exercício 35 · Lição 7 — Estrutura matemática: as relações fundamentais

relação de Maxwell
gás ideal
adiabática
capacidade térmica molar
derivadas parciais

Enunciado

Para um sistema fechado de composição fixa,

d U = T d S - P d V .

Considera-se um gás ideal de capacidade térmica molar $c_{V}$ constante e define-se $γ = c_{P} / c_{V}$ , com $c_{P} - c_{V} = R$ .

Deduzir da diferencial de $U (S, V)$ a relação de Maxwell $(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = - (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} .$
Calcular o membro esquerdo a partir de $T V^{γ - 1} = constante$ .
Calcular separadamente o membro direito usando $P = n R T / V$ e $d S = n c_{V} d T / T$ a volume constante.
Verificar que os dois resultados coincidem.

Dica

Na questão 1, identificar

T = (\partial U / \partial S)_{V}

- P = (\partial U / \partial V)_{S}

e, depois, trocar a ordem das derivadas.

Solução detalhada

Solução

1. As variáveis naturais de

U

são

S

V

. Tem-se, portanto,

T = (\frac{\partial U}{\partial S})_{V}, - P = (\frac{\partial U}{\partial V})_{S} .

Como as derivadas cruzadas de $U$ são iguais,

(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = \frac{\partial ^{2} U}{\partial V \partial S} = - (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} .

2. Numa adiabática reversível, $T V^{γ - 1} = K$ . Diferenciando com entropia constante,

V^{γ - 1} d T + T (γ - 1) V^{γ - 2} d V = 0.

Depois de dividir por $V^{γ - 1} d V$ ,

(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = - (γ - 1) \frac{T}{V} .

3. A volume constante, $P = n R T / V$ , logo

(\frac{\partial P}{\partial S})_{V} = \frac{n R}{V} (\frac{\partial T}{\partial S})_{V} .

Ora, $d S = n c_{V} d T / T$ a volume constante, donde $(\partial T / \partial S)_{V} = T / (n c_{V})$ . Assim,

- (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} = - \frac{R T}{c _{V} V} .

4. A relação de Mayer dá $R / c_{V} = (c_{P} - c_{V}) / c_{V} = γ - 1$ . O membro direito vale, portanto, $- (γ - 1) T / V$ , exatamente como o membro esquerdo.