Exercício resolvido de termodinâmica

Uma esfera carregada e a questão da extensividade

Exercício 16 · Lição 4 — O primeiro princípio da termodinâmica

interação coulombiana
energia eletrostática
extensividade
neutralidade elétrica

Enunciado

Uma carga total $Q > 0$ está distribuída uniformemente no volume de uma esfera de raio $R$ , no vácuo. Há restrições que mantêm esta distribuição; contabiliza-se aqui apenas a sua energia eletrostática $U_{el}$ . Não se trata de uma esfera condutora, cujas cargas, em equilíbrio, se colocariam à superfície.

Constrói-se a distribuição trazendo cascas carregadas desde o infinito. Para uma carga já reunida $Q (r)$ numa bola de raio $r$ , o potencial à superfície vale $Φ (r) = k_{e} Q (r) / r$ , em que $k_{e} = 1/ (4 π ε_{0})$ . A energia é nula para elementos de carga infinitamente separados.

Desenhar uma etapa da construção. Exprimir $Q (r)$ e $d Q$ em função de $Q, R, r$ e $d r$ e, depois, calcular $U_{el}$ .
Num modelo contínuo de $N$ constituintes com a mesma carga $q_{0}$ , põe-se $Q = N q_{0}$ . Para uma densidade de partículas fixa, escrever $R = r_{0} N^{1/3}$ e determinar a dependência da energia em relação a $N$ . Comparar o seu sinal e o seu grau de homogeneidade com os da gravitação.
Para uma carga total fixa, calcular a variação de energia numa dilatação de $R_{A}$ para $R_{B} > R_{A}$ . Qual é o sinal do trabalho exterior recebido se esta dilatação for quase-estática e sem dissipação? A expressão deste trabalho representa apenas a contribuição elétrica.
Para cargas de sinais diferentes, a energia de interação microscópica escreve-se $U_{el} = k_{e} i < j \sum \frac{q _{i} q _{j}}{r _{ij}} .$
Porque é que a lei obtida para uma esfera com carga de um único sinal não prova que toda a matéria comum é não extensiva? Basta uma carga total nula para anular esta soma?

Dica

Utilizar

d U_{el} = Φ (r) d Q

. A construção por cascas conta cada par uma vez. Para a última questão, examinar um simples par de cargas

+ q_{0}

- q_{0}

separadas por uma distância

a

Solução detalhada

Solução

Questão 1. O esquema representa a bola já carregada, de raio

r

, e a casca trazida, de espessura

d r

. A densidade volúmica de carga constante vale

ρ_{q} = 3 Q / (4 π R^{3})

. Por conseguinte,

Q (r) = ρ_{q} \frac{4 π r ^{3}}{3} = Q \frac{r ^{3}}{R ^{3}}, d Q = 4 π ρ_{q} r^{2} d r = \frac{3 Q}{R ^{3}} r^{2} d r .

A variação de energia ao acrescentar a casca é

d U_{el} = \frac{k _{e} Q ( r )}{r} d Q = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} r^{4} d r .

Somando as contribuições desde o centro até à superfície,

U_{el} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} \int_{0}^{R} r^{4} d r = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} [\frac{r ^{5}}{5}]_{0}^{R} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R} = \frac{3 Q ^{2}}{20 π ε _{0} R} .

A interação de cada par de camadas é contada uma única vez; não é necessário qualquer fator $1/2$ suplementar. O resultado é positivo: é preciso vencer a repulsão para reunir as cargas. O produto $k_{e} Q^{2} / R$ exprime-se em joules.

Questão 2. Para uma densidade de partículas

ρ_{N} = N / (4 π R^{3} /3)

fixa, tem-se

r_{0} = (3/ (4 π ρ_{N}))^{1/3}

. Substituindo,

U_{el} = \frac{3 k _{e} ( N q _{0} ) ^{2}}{5 r _{0} N ^{1/3}} = \frac{3 k _{e} q _{0}^{2}}{5 r _{0}} N^{5/3} .

Esta energia é de grau $5/3$ , logo não extensiva. A sua energia por partícula cresce como $N^{2/3}$ . O grau é o mesmo que para a esfera gravítica porque os dois potenciais decrescem como $1/ r$ ; o sinal é oposto, pois cargas do mesmo sinal repelem-se. O modelo contínuo descreve a contribuição coletiva, sem contar as autoenergias das cargas pontuais.

Questão 3. Com

Q

fixo, a diferença vale

Δ U_{el} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5} (\frac{1}{R _{B}} - \frac{1}{R _{A}}) < 0.

Numa evolução quase-estática sem dissipação, a contribuição elétrica para o trabalho recebido é a variação de energia potencial. Pode também verificar-se por integração:

W_{ext} = \int_{R_{A}}^{R_{B}} - \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R ^{2}} d R = [\frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R}]_{R_{A}}^{R_{B}} = Δ U_{el} < 0.

O agente exterior retém as cargas que se repelem e recebe trabalho durante a dilatação. Nenhum outro armazenamento de energia no dispositivo de suporte está incluído neste balanço elétrico.

Questão 4. Para cargas do mesmo sinal, todos os produtos

q_{i} q_{j}

são positivos: as suas contribuições somam-se. Na matéria eletricamente neutra, pelo contrário, existem contribuições atrativas e repulsivas que se podem compensar a grande distância. A neutralidade e, nos meios em que intervém, a blindagem eletrostática alteram assim o raciocínio baseado na soma de termos todos do mesmo sinal. A neutralidade total não significa, contudo,

U_{el} = 0

. Duas cargas

+ q_{0}

- q_{0}

separadas por

a

têm carga total nula, mas uma energia de interação

- k_{e} q_{0}^{2} / a

, não nula. É preciso conhecer a organização e as correlações entre as cargas para estabelecer uma lei de escala. O cálculo da esfera uniformemente carregada não constitui, portanto, nem uma prova da não extensividade de toda a matéria, nem uma prova da extensividade dos sistemas neutros.