Exercício resolvido de termodinâmica

Exercício de curso: transformações elementares

Exercício 17 · Lição 5 — Aplicação ao gás ideal

exercício de curso
gás ideal monoatómico
transformação isocórica
transformação isotérmica
transformação isobárica
energia interna
trabalho
calor
primeiro princípio

Enunciado

Consideram-se $n$ moles de gás ideal monoatómico, inicialmente no estado $A (P_{A}, V_{A}, T_{i})$ . Estudam-se separadamente três transformações quase-estáticas, todas com início em $A$ , com $T_{f} > T_{i}$ :

$A \to B$ : aquecimento isocórico de $T_{i}$ a $T_{f}$ ;
$A \to C$ : compressão isotérmica a $T_{i}$ , de $V_{A}$ a $V_{A} /2$ ;
$A \to D$ : aquecimento isobárico de $T_{i}$ a $T_{f}$ .

Adota-se a convenção do banqueiro: as transferências recebidas pelo gás são positivas.

Representar as três transformações num mesmo diagrama de Clapeyron $(P, V)$ e determinar formalmente os estados $B$ , $C$ e $D$ .
Calcular formalmente $W$ , $Δ U$ e $Q$ para cada uma das três transformações.
Comentar os sinais das transferências de energia.
Aplicação numérica: $n = 1 mol$ , $T_{i} = 300 K$ , $T_{f} = 500 K$ e $R = 8, 314 J mo l^{- 1} K^{- 1}$ .

Dica

Para um gás ideal monoatómico,

Δ U = \frac{3}{2} n R Δ T

. Utilizar

W = - \int P d V

e o primeiro princípio

Δ U = Q + W

Solução detalhada

Solução

Questão 1. A equação dos gases ideais dá

Estado A B C D P P_{A} P_{A} \frac{T _{f}}{T _{i}} 2 P_{A} P_{A} V V_{A} V_{A} \frac{V _{A}}{2} V_{A} \frac{T _{f}}{T _{i}} T T_{i} T_{f} T_{i} T_{f}

No diagrama $(P, V)$ , $A \to B$ é uma vertical, $A \to C$ segue a isotérmica $T_{i}$ para a esquerda e $A \to D$ é uma horizontal para a direita.

Questão 2. Aquecimento isocórico

A \to B

. Como

d V = 0

W_{A B} = 0, Δ U_{A B} = \frac{3}{2} n R (T_{f} - T_{i}), Q_{A B} = \frac{3}{2} n R (T_{f} - T_{i}) .

Compressão isotérmica $A \to C$ . A temperatura é constante, portanto $Δ U_{A C} = 0$ . Além disso,

W_{A C} = - \int_{V_{A}}^{V_{A} /2} \frac{n R T _{i}}{V} d V = n R T_{i} ln 2, Q_{A C} = - n R T_{i} ln 2.

Aquecimento isobárico $A \to D$ . A pressão constante, $P_{A} (V_{D} - V_{A}) = n R (T_{f} - T_{i})$ , portanto

W_{A D} = - n R (T_{f} - T_{i}), Δ U_{A D} = \frac{3}{2} n R (T_{f} - T_{i}), Q_{A D} = \frac{5}{2} n R (T_{f} - T_{i}) .

Questão 3. Na isocórica, todo o calor recebido aumenta a energia interna. Durante a compressão isotérmica, o gás recebe trabalho e cede exatamente a mesma energia sob a forma de calor. Na isobárica, o gás recebe calor, aumenta a sua energia interna e fornece trabalho ao expandir-se.

Questão 4. Com

T_{f} - T_{i} = 200 K

Transforma \overset{c}{¸} \overset{a}{˜} o Isoc \overset{o}{ˊ} rica A \to B Isot \overset{e}{ˊ} rmica A \to C Isob \overset{a}{ˊ} rica A \to D W (kJ) 0 + 1, 73 - 1, 66 Δ U (kJ) + 2, 49 0 + 2, 49 Q (kJ) + 2, 49 - 1, 73 + 4, 16