Exercício resolvido de termodinâmica

Exercício de curso: transformações elementares

Exercício 9 · Lição 5 — Aplicação ao gás ideal

exercício de curso
gás ideal monoatómico
transformação isocórica
transformação isotérmica
transformação isobárica
energia interna
trabalho
calor
primeiro princípio

Enunciado

Consideram-se $n$ moles de gás ideal monoatómico, inicialmente no estado $A(P_A,V_A,T_i)$ . Estudam-se separadamente três transformações quase-estáticas, todas com início em $A$ , com $T_f>T_i$ :

$A\to B$ : aquecimento isocórico de $T_i$ a $T_f$ ;
$A\to C$ : compressão isotérmica a $T_i$ , de $V_A$ a $V_A/2$ ;
$A\to D$ : aquecimento isobárico de $T_i$ a $T_f$ .

Adota-se a convenção do banqueiro: as transferências recebidas pelo gás são positivas.

Representar as três transformações num mesmo diagrama de Clapeyron $(P,V)$ e determinar formalmente os estados $B$ , $C$ e $D$ .
Calcular formalmente $W$ , $\Delta U$ e $Q$ para cada uma das três transformações.
Comentar os sinais das transferências de energia.
Aplicação numérica: $n=1\ \mathrm{mol}$ , $T_i=300\ \mathrm{K}$ , $T_f=500\ \mathrm{K}$ e $R=8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ .

Dica

Para um gás ideal monoatómico,

\Delta U=\frac32nR\Delta T

. Utilizar

W=-\int P\,\mathrm{d}V

e o primeiro princípio

\Delta U=Q+W

Solução detalhada

Solução

Questão 1. A equação dos gases ideais dá

\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{Estado} & P & V & T \\ \hline A & P_A & V_A & T_i \\ B & P_A\dfrac{T_f}{T_i} & V_A & T_f \\[4pt] C & 2P_A & \dfrac{V_A}{2} & T_i \\[4pt] D & P_A & V_A\dfrac{T_f}{T_i} & T_f \end{array} \end{aligned}

No diagrama $(P,V)$ , $A\to B$ é uma vertical, $A\to C$ segue a isotérmica $T_i$ para a esquerda e $A\to D$ é uma horizontal para a direita.

Questão 2.

Aquecimento isocórico $A\to B$ . Como $\mathrm{d}V=0$ ,

W_{AB}=0, \qquad \Delta U_{AB}=\frac32nR(T_f-T_i), \qquad Q_{AB}=\frac32nR(T_f-T_i).

Compressão isotérmica $A\to C$ . A temperatura é constante, portanto $\Delta U_{AC}=0$ . Além disso,

W_{AC} =-\int_{V_A}^{V_A/2}\frac{nRT_i}{V}\,\mathrm{d}V =nRT_i\ln2, \qquad Q_{AC}=-nRT_i\ln2.

Aquecimento isobárico $A\to D$ . A pressão constante, $P_A(V_D-V_A)=nR(T_f-T_i)$ , portanto

W_{AD}=-nR(T_f-T_i), \qquad \Delta U_{AD}=\frac32nR(T_f-T_i), \qquad Q_{AD}=\frac52nR(T_f-T_i).

Questão 3. Na isocórica, todo o calor recebido aumenta a energia interna. Durante a compressão isotérmica, o gás recebe trabalho e cede exatamente a mesma energia sob a forma de calor. Na isobárica, o gás recebe calor, aumenta a sua energia interna e fornece trabalho ao expandir-se.

Questão 4. Com $T_f-T_i=200\ \mathrm{K}$ :

\begin{aligned} \begin{array}{c|r|r|r} \text{Transformação} & W\ (\mathrm{kJ}) & \Delta U\ (\mathrm{kJ}) & Q\ (\mathrm{kJ}) \\ \hline \text{Isocórica }A\to B & 0 & +2{,}49 & +2{,}49 \\ \text{Isotérmica }A\to C & +1{,}73 & 0 & -1{,}73 \\ \text{Isobárica }A\to D & -1{,}66 & +2{,}49 & +4{,}16 \end{array} \end{aligned}