Exercício resolvido de termodinâmica

Construir uma esfera gravítica uniforme

Exercício 15 · Lição 4 — O primeiro princípio da termodinâmica

gravitação
energia de interação
esfera uniforme
extensividade
longo alcance

Enunciado

Uma esfera de raio $R$ contém uma massa $M$ distribuída uniformemente, de massa volúmica $ρ_{m}$ . Pretende-se calcular a sua energia potencial gravítica $U_{grav}$ , com origem nula quando os seus elementos de massa estão infinitamente afastados.

Imagina-se a construção da esfera por camadas concêntricas, mantendo a mesma massa volúmica. Na etapa em que o raio atinge $r$ , a massa já reunida é $M (r)$ e traz-se do infinito uma casca de massa $d M$ . Admite-se que o potencial criado à sua superfície pela massa interior vale $- GM (r) / r$ . O cálculo incide apenas sobre a energia gravítica; não se supõe qualquer equilíbrio mecânico da esfera.

Desenhar a esfera já construída e a casca acrescentada entre $r$ e $r + d r$ . Exprimir $ρ_{m}$ , $M (r)$ e $d M$ em função de $M, R, r$ e $d r$ .
Exprimir a energia de interação da casca com a esfera interior e, depois, integrar para obter $U_{grav}$ . É preciso dividir o resultado por dois?
A esfera contém $N$ constituintes de massa $m$ , com $M = N m$ . Para uma massa volúmica $ρ_{m}$ fixa, exprimir $R$ em função de $N$ e determinar depois a dependência de $U_{grav}$ e de $U_{grav} / N$ em relação a $N$ .
Comparar a energia de uma esfera de $2 N$ constituintes com a soma das energias de duas esferas de $N$ constituintes cada, infinitamente afastadas, todas com a mesma massa volúmica. Comentar o sinal da diferença e a extensividade.

Dica

A casca tem volume

4 π r^{2} d r

. A sua energia de interação com a massa já reunida é

d U_{grav} = - GM (r) d M / r

. Na contagem, cada par é encontrado quando a sua parte exterior é acrescentada.

Solução detalhada

Solução

Questão 1. O esquema mostra uma bola de raio

r

, de massa

M (r)

, rodeada por uma camada de espessura

d r

; indica-se o raio final

R

. A uniformidade da massa volúmica dá

ρ_{m} = \frac{M}{4 π R ^{3} /3} = \frac{3 M}{4 π R ^{3}}, M (r) = ρ_{m} \frac{4 π r ^{3}}{3} = M \frac{r ^{3}}{R ^{3}} .

A massa acrescentada é, portanto,

d M = 4 π ρ_{m} r^{2} d r = \frac{3 M}{R ^{3}} r^{2} d r .

Questão 2. O potencial gravítico é uma energia por unidade de massa. Multiplicando-o pela massa trazida, obtém-se

d U_{grav} = - \frac{GM ( r )}{r} d M = - \frac{G}{r} \frac{M r ^{3}}{R ^{3}} \frac{3 M r ^{2}}{R ^{3}} d r = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} r^{4} d r .

A integração abrange todos os raios de construção:

U_{grav} = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} \int_{0}^{R} r^{4} d r = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} [\frac{r ^{5}}{5}]_{0}^{R} = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} \frac{R ^{5}}{5} = - \frac{3 G M ^{2}}{5 R} .

Cada interação entre uma camada nova e uma camada interior é contada uma única vez. Não se deve, portanto, acrescentar um fator $1/2$ . A autoenergia de uma casca infinitesimal é de ordem $(d M)^{2}$ e não contribui para o integral no limite contínuo. O sinal negativo traduz a atração; separar as massas exige fornecer energia. Por fim, $G M^{2} / R$ tem de facto a unidade de um joule.

Questão 3. Para uma densidade fixa,

\frac{4 π R ^{3}}{3} = \frac{N m}{ρ _{m}}, R = (\frac{3 m}{4 π ρ _{m}})^{1/3} N^{1/3} .

Substituindo $M$ e $R$ na energia,

U_{grav} = - \frac{3}{5} G m^{2} (\frac{4 π ρ _{m}}{3 m})^{1/3} \frac{N ^{2}}{N ^{1/3}} = - a_{g} N^{5/3},

em que $a_{g} = \frac{3}{5} G m^{2} (4 π ρ_{m} / (3 m))^{1/3} > 0$ é independente de $N$ . A energia por constituinte vale, portanto, $U_{grav} / N = - a_{g} N^{2/3}$ . O seu valor absoluto aumenta com o tamanho do sistema: não se mantém intensiva.

Questão 4. A esfera grande tem energia

U_{grav} (2 N) = - a_{g} 2^{5/3} N^{5/3}

. Para as duas esferas infinitamente afastadas, a interação mútua é nula e a soma vale

2 U_{grav} (N) = - 2 a_{g} N^{5/3}

. A diferença é

U_{grav} (2 N) - 2 U_{grav} (N) = - a_{g} (2^{5/3} - 2) N^{5/3} < 0.

A esfera grande está mais fortemente ligada pela gravidade. Esta comparação de estados não descreve, por si só, a dinâmica da sua reunião. Mostra que $U_{grav} (2 N) \neq = 2 U_{grav} (N)$ : a energia gravítica não é extensiva. A conservação da energia não é posta em causa; a extensividade é uma hipótese suplementar que falha para esta interação de longo alcance.