Exercício resolvido de termodinâmica

Translação, rotação e agitação térmica

Exercício 14 · Lição 4 — O primeiro princípio da termodinâmica

teorema de König
rotação
energia cinética
energia interna
atrito

Enunciado

Um sistema de $N$ partículas de massas $m_{i}$ tem massa total $M$ , centro de massa de posição $R$ e velocidade $V$ . Define-se $ρ_{i} = r_{i} - R$ e decompõem-se as velocidades:

v_{i} = V + ω \times ρ_{i} + u_{i}^{'} .

A velocidade angular global $ω$ é escolhida de modo que o movimento residual não transporte momento angular global:

i \sum m_{i} u_{i}^{'} = 0, i \sum m_{i} ρ_{i} \times u_{i}^{'} = 0 .

Admite-se a identidade $\sum_{i} m_{i} ∣ ω \times ρ_{i} ∣^{2} = ω \cdot I_{CM} ω$ , em que $I_{CM}$ é o tensor de inércia relativo ao centro de massa.

Desenvolver $E_{kin} = \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2}$ e mostrar que os três termos cruzados são nulos. Deduzir a decomposição em translação, rotação global e movimento residual.
Na convenção em que a translação e a rotação globais são contadas como movimentos macroscópicos, que energia cinética entra na energia interna? Basta colocar-se no referencial do centro de massa para conservar apenas a agitação térmica?
Um disco homogéneo de massa $M$ e raio $R$ , de eixo fixo, roda inicialmente com velocidade angular $ω_{0}$ . O seu momento de inércia é $I = M R^{2} /2$ . Um travão imobiliza-o. O sistema formado pelo disco e pelo travão está termicamente isolado; os seus suportes imóveis não fornecem qualquer trabalho. Toda a energia dissipada permanece neste sistema, de capacidade térmica total constante $C$ . Estabelecer a sua variação de energia interna e o seu aumento de temperatura.
Calcular a energia convertida e o aumento de temperatura para $M = 2, 0 kg$ , $R = 0, 10 m$ , $ω_{0} = 100 rad s^{- 1}$ e $C = 500 J K^{- 1}$ . Esta energia atravessou a fronteira do sistema sob a forma de calor?

Dica

Utilizar

\sum_{i} m_{i} ρ_{i} = 0

e a identidade do produto misto

(ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} = ω \cdot (ρ_{i} \times u_{i}^{'})

. Durante a travagem, conservar

U + E_{kin}^{macro}

Solução detalhada

Solução

Questão 1. A definição do centro de massa dá

\sum_{i} m_{i} r_{i} = M R

. Por conseguinte,

i \sum m_{i} ρ_{i} = i \sum m_{i} r_{i} - M R = 0 .

Desenvolvendo cada quadrado,

E_{kin} = \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} i \sum m_{i} ∣ ω \times ρ_{i} ∣^{2} + \frac{1}{2} i \sum m_{i} u_{i}^{'}^{2} + V \cdot (ω \times i \sum m_{i} ρ_{i}) + V \cdot i \sum m_{i} u_{i}^{'} + i \sum m_{i} (ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} .

O primeiro termo cruzado anula-se pela definição do centro de massa. O segundo anula-se porque a quantidade de movimento residual é nula. Para o terceiro, o produto misto dá

i \sum m_{i} (ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} = ω \cdot i \sum m_{i} (ρ_{i} \times u_{i}^{'}) = 0.

Com a identidade dada para o tensor de inércia, resta

E_{kin} = \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} ω \cdot I_{CM} ω + \frac{1}{2} i \sum m_{i} u_{i}^{'}^{2}

Questão 2. Nesta convenção, a contribuição cinética para a energia interna é o último termo, $\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} u_{i}^{'}^{2}$ . A energia interna inclui também as energias potenciais internas e os eventuais outros graus de liberdade internos. Colocar-se no referencial do centro de massa anula o termo de translação, mas deixa o termo de rotação global. Um disco que roda em torno de um eixo fixo possui, assim, energia cinética macroscópica mesmo que o seu centro de massa esteja imóvel.

Questão 3. O calor e o trabalho que atravessam a fronteira do sistema formado pelo disco e pelo travão são nulos. As forças dos suportes podem transmitir momento angular, mas, como os seus pontos de aplicação estão imóveis, não transmitem trabalho. Desprezando qualquer outra variação de energia macroscópica, a conservação dá

Δ U + Δ E_{rotation} = 0.

O disco para, logo $Δ E_{rotation} = 0 - \frac{1}{2} I ω_{0}^{2}$ . Por conseguinte,

Δ U = \frac{1}{2} I ω_{0}^{2} = \frac{1}{4} M R^{2} ω_{0}^{2} > 0.

Uma vez atingido o equilíbrio térmico interno, o modelo de capacidade constante dá $Δ U = C (T_{f} - T_{i})$ , ou seja,

T_{f} - T_{i} = \frac{M R ^{2} ω _{0}^{2}}{4 C} .

O atrito converte energia de movimento ordenado em energia interna no seio do sistema.

Questão 4. O momento de inércia vale

I = 2, 0 (0, 10)^{2} /2 = 0, 010 kg m^{2}

. Obtém-se

Δ U = \frac{1}{2} (0, 010) (100)^{2} = 50 J, T_{f} - T_{i} = \frac{50}{500} = 0, 10 K .

O sistema aquece embora $Q = 0$ : esta energia não atravessou a sua fronteira sob a forma de calor. Estava inicialmente presente sob a forma de energia cinética de rotação.