Exercício resolvido de termodinâmica

O trabalho necessário para esticar uma película de sabão

Exercício 13 · Lição 4 — O primeiro princípio da termodinâmica

tensão superficial
trabalho generalizado
interface
película de sabão

Enunciado

Uma película de sabão plana está esticada num caixilho retangular, no qual uma barra móvel de comprimento $ℓ$ pode deslizar sem atrito. A distância $x$ entre esta barra e o lado oposto do caixilho aumenta de $x_{A}$ para $x_{B}$ . A película tem duas interfaces ar-líquido, cada uma com tensão superficial $γ$ , suposta constante. Desprezam-se os efeitos de bordo, o peso e o trabalho das forças de pressão; o volume de líquido é constante e não há troca de líquido. O deslocamento é suficientemente lento para que o equilíbrio mecânico se mantenha. Para a criação de interface, o trabalho recebido escreve-se $δ W = γ d A$ , em que $A$ é a área total das interfaces.

Desenhar o caixilho e a barra, indicando $x$ , $ℓ$ e o sentido da tração exterior. Exprimir $A (x)$ e, depois, $d A$ .
Determinar a força exterior necessária e calcular o trabalho recebido quando $x$ passa de $x_{A}$ para $x_{B}$ .
Calcular essa força e esse trabalho para $γ = 30 mN m^{- 1}$ , $ℓ = 5, 0 cm$ e $x_{B} - x_{A} = 2, 0 cm$ . Que erro resultaria de esquecer uma das faces?
A película mantém-se a temperatura constante graças a um termostato. Basta conhecer $γ$ e a variação de área para determinar $Δ U$ e $Q$ ?

Dica

Cada face tem área

ℓ x

. Identificar o trabalho

F_{ext} d x

com o trabalho de criação das duas interfaces. Na última questão, distinguir o trabalho recebido da energia armazenada.

Solução detalhada

Solução

Questão 1. Representa-se o caixilho no plano da película, a barra móvel perpendicular à direção

x

e a tração exterior no sentido dos

x

crescentes. Cada face tem área

ℓ x

. A área total e a sua variação são, portanto,

A = 2 ℓ x, d A = 2 ℓ d x,

pois $ℓ$ é constante. As duas interfaces são distintas, ainda que se sobreponham no desenho visto de frente.

Questão 2. O trabalho recebido pode escrever-se de duas maneiras:

δ W = F_{ext} d x = γ d A = 2 γ ℓ d x .

A identificação dá $F_{ext} = 2 γ ℓ$ . A força exercida pela película opõe-se a esta tração. Como $γ$ e $ℓ$ são constantes,

W_{A \to B} = \int_{x_{A}}^{x_{B}} 2 γ ℓ d x = 2 γ ℓ [x]_{x_{A}}^{x_{B}} = 2 γ ℓ (x_{B} - x_{A}) > 0.

Aumentar a área da película exige fornecer trabalho.

Questão 3. Em unidades SI,

γ = 30 \times 1 0^{- 3} N m^{- 1}

ℓ = 5, 0 \times 1 0^{- 2} m

x_{B} - x_{A} = 2, 0 \times 1 0^{- 2} m

. Assim,

F_{ext} = 2 (30 \times 1 0^{- 3}) (5, 0 \times 1 0^{- 2}) = 3, 0 \times 1 0^{- 3} N, W_{A \to B} = (3, 0 \times 1 0^{- 3}) (2, 0 \times 1 0^{- 2}) = 6, 0 \times 1 0^{- 5} J = 60 μ J .

As unidades são coerentes: $γ ℓ$ é uma força e $γ Δ A$ uma energia. Esquecer uma das faces dividiria erradamente a força e o trabalho por dois.

Questão 4. O primeiro princípio impõe apenas

Δ U = Q + γ Δ A .

O termostato pode fornecer ou receber calor para manter a temperatura. Sem um modelo da energia interna da película, não se conhece nem $Δ U$ nem $Q$ . Não se pode, portanto, identificar automaticamente $γ Δ A$ com uma variação de energia interna, nem deduzir $Q = 0$ da isotermia.