Exercício resolvido de termodinâmica

Trabalho e calor entre dois estados por dois caminhos

Exercício 19 · Lição 5 — Aplicação ao gás ideal

trabalho das forças de pressão
calor
isotérmica
isocórica
diagrama de Clapeyron
diferencial exata
gás ideal

Enunciado

Consideram-se $n$ moles de gás ideal monoatómico, com energia interna $U = \frac{3}{2} n R T$ . Liga-se o estado $A (T_{1}, V_{1})$ ao estado $B (T_{2}, V_{2})$ por dois caminhos quase-estáticos, com $P_{ext} = P$ em cada instante:

$Γ_{1}$ : uma expansão isotérmica a $T_{1}$ , de $V_{1}$ a $V_{2}$ , seguida de uma transformação isocórica a $V_{2}$ , de $T_{1}$ a $T_{2}$ ;
$Γ_{2}$ : uma transformação isocórica a $V_{1}$ , de $T_{1}$ a $T_{2}$ , seguida de uma expansão isotérmica a $T_{2}$ , de $V_{1}$ a $V_{2}$ .

No caso $T_{2} > T_{1}$ e $V_{2} > V_{1}$ , representar os caminhos $Γ_{1}$ e $Γ_{2}$ no diagrama de Clapeyron $(P, V)$ . Indicar os estados intermédios e o sentido do percurso.
Calcular o trabalho recebido $W_{1}$ e $W_{2}$ ao longo de cada um dos dois caminhos. Quanto vale a diferença $W_{1} - W_{2}$ ?
Sem calcular novamente as duas integrais separadamente, determinar geometricamente $W_{1} - W_{2}$ a partir da área compreendida entre os dois caminhos no diagrama de Clapeyron.
Calcular $Δ U$ ao longo de cada um dos dois caminhos e, em seguida, deduzir $Q_{1}$ e $Q_{2}$ . Concluir sobre a natureza de $δ Q$ .
Aplicação numérica: $n = 1$ mol, $T_{1} = 300$ K, $T_{2} = 600$ K e $V_{2} = 2 V_{1}$ .

Dica

No diagrama de Clapeyron, uma isocórica é vertical e uma isotérmica de gás ideal verifica

P = n R T / V

. A isotérmica de temperatura

T_{2}

situa-se acima da de temperatura

T_{1}

. Uma isocórica não contribui para o trabalho das forças de pressão. Para a questão 3, o trabalho recebido é o oposto da área algébrica situada sob o caminho no diagrama

(P, V)

Solução detalhada

Solução

Questão 1. Designemos por

C

o estado intermédio do caminho

Γ_{1}

e por

D

o do caminho

Γ_{2}

. As respetivas pressões e volumes são

A D = (\frac{n R T _{1}}{V _{1}}, V_{1}), = (\frac{n R T _{2}}{V _{1}}, V_{1}), C B = (\frac{n R T _{1}}{V _{2}}, V_{2}), = (\frac{n R T _{2}}{V _{2}}, V_{2}) .

Como $T_{2} > T_{1}$ , a isotérmica $T_{2}$ situa-se acima da isotérmica $T_{1}$ . O caminho $Γ_{1}$ traça-se de $A$ para $C$ , para a direita ao longo da isotérmica inferior $T_{1}$ , depois verticalmente de $C$ para $B$ ao longo da isocórica $V_{2}$ . O caminho $Γ_{2}$ sobe primeiro verticalmente de $A$ para $D$ ao longo da isocórica $V_{1}$ , depois segue para a direita de $D$ para $B$ ao longo da isotérmica superior $T_{2}$ . As setas dos dois caminhos são, portanto,

Γ_{1} : A T = T_{1} C V = V_{2} B, Γ_{2} : A V = V_{1} D T = T_{2} B .

Os caminhos _1 e _2 no diagrama de Clapeyron. As curvas cinzentas prolongam as isotérmicas T_1 e T_2. — Figura 1. Os caminhos $Γ_{1}$ e $Γ_{2}$ no diagrama de Clapeyron. As curvas cinzentas prolongam as isotérmicas $T_{1}$ e $T_{2}$ .

Questão 2. Com a convenção do trabalho recebido pelo gás, $δ W = - P d V$ . Uma isocórica não contribui e, numa isotérmica à temperatura $T$ ,

W = - \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{n R T}{V} d V = - n R T ln \frac{V _{2}}{V _{1}} .

Obtém-se, portanto,

W_{1} = - n R T_{1} ln \frac{V _{2}}{V _{1}}, W_{2} = - n R T_{2} ln \frac{V _{2}}{V _{1}},

e depois

W_{1} - W_{2} = n R (T_{2} - T_{1}) ln \frac{V _{2}}{V _{1}} \neq = 0.

Os estados inicial e final são idênticos, mas os trabalhos diferem: $δ W$ não é uma diferencial exata.

Questão 3. As isocóricas não varrem nenhuma área. Como o trabalho recebido é o oposto da área sob a curva, a diferença

W_{1} - W_{2}

é a área compreendida entre as isotérmicas

T_{2}

T_{1}

W_{1} - W_{2} = \int_{V_{1}}^{V_{2}} (\frac{n R T _{2}}{V} - \frac{n R T _{1}}{V}) d V = n R (T_{2} - T_{1}) ln \frac{V _{2}}{V _{1}} > 0.

Obtém-se novamente o resultado da questão 2.

Questão 4. A energia interna do gás ideal monoatómico depende apenas da temperatura. A sua variação é, portanto, a mesma nos dois caminhos:

Δ U = U_{B} - U_{A} = \frac{3}{2} n R (T_{2} - T_{1}) .

O primeiro princípio, $Δ U = W + Q$ , dá $Q = Δ U - W$ , donde

Q_{1} Q_{2} = \frac{3}{2} n R (T_{2} - T_{1}) + n R T_{1} ln \frac{V _{2}}{V _{1}}, = \frac{3}{2} n R (T_{2} - T_{1}) + n R T_{2} ln \frac{V _{2}}{V _{1}} .

Assim,

Q_{2} - Q_{1} = n R (T_{2} - T_{1}) ln \frac{V _{2}}{V _{1}} \neq = 0.

O calor trocado também depende do caminho: $δ Q$ não é uma diferencial exata, contrariamente a $d U$ .

Questão 5. Com

ln 2 ≃ 0, 693

W_{1} Δ U ≃ - 1, 73 kJ, ≃ 3, 74 kJ, W_{2} Q_{1} ≃ - 3, 46 kJ, ≃ 5, 47 kJ, Q_{2} ≃ 7, 20 kJ .

O gás fornece duas vezes mais trabalho durante $Γ_{2}$ e recebe o calor adicional correspondente.