Exercício resolvido de termodinâmica

Trabalho e calor entre dois estados por dois caminhos

Exercício 11 · Lição 5 — Aplicação ao gás ideal

trabalho das forças de pressão
calor
isotérmica
isocórica
diagrama de Clapeyron
diferencial exata
gás ideal

Enunciado

Consideram-se $n$ moles de gás ideal monoatómico, com energia interna $U=\frac{3}{2}nRT$ . Liga-se o estado $A(T_1,V_1)$ ao estado $B(T_2,V_2)$ por dois caminhos quase-estáticos, com $P_{\mathrm{ext}}=P$ em cada instante:

$\Gamma_1$ : uma expansão isotérmica a $T_1$ , de $V_1$ a $V_2$ , seguida de uma transformação isocórica a $V_2$ , de $T_1$ a $T_2$ ;
$\Gamma_2$ : uma transformação isocórica a $V_1$ , de $T_1$ a $T_2$ , seguida de uma expansão isotérmica a $T_2$ , de $V_1$ a $V_2$ .

No caso $T_2>T_1$ e $V_2>V_1$ , representar os caminhos $\Gamma_1$ e $\Gamma_2$ no diagrama de Clapeyron $(P,V)$ . Indicar os estados intermédios e o sentido do percurso.
Calcular o trabalho recebido $W_1$ e $W_2$ ao longo de cada um dos dois caminhos. Quanto vale a diferença $W_1-W_2$ ?
Sem calcular novamente as duas integrais separadamente, determinar geometricamente $W_1-W_2$ a partir da área compreendida entre os dois caminhos no diagrama de Clapeyron.
Calcular $\Delta U$ ao longo de cada um dos dois caminhos e, em seguida, deduzir $Q_1$ e $Q_2$ . Concluir sobre a natureza de $\delta Q$ .
Aplicação numérica: $n=1$ mol, $T_1=300$ K, $T_2=600$ K e $V_2=2V_1$ .

Dica

No diagrama de Clapeyron, uma isocórica é vertical e uma isotérmica de gás ideal verifica

P=nRT/V

. A isotérmica de temperatura

T_2

situa-se acima da de temperatura

T_1

. Uma isocórica não contribui para o trabalho das forças de pressão. Para a questão 3, o trabalho recebido é o oposto da área algébrica situada sob o caminho no diagrama

(P,V)

Solução detalhada

Solução

Questão 1. Designemos por

C

o estado intermédio do caminho

\Gamma_1

e por

D

o do caminho

\Gamma_2

. As respetivas pressões e volumes são

\begin{aligned} A&=\left(\frac{nRT_1}{V_1},V_1\right),& C&=\left(\frac{nRT_1}{V_2},V_2\right),\\ D&=\left(\frac{nRT_2}{V_1},V_1\right),& B&=\left(\frac{nRT_2}{V_2},V_2\right). \end{aligned}

Como $T_2>T_1$ , a isotérmica $T_2$ situa-se acima da isotérmica $T_1$ . O caminho $\Gamma_1$ traça-se de $A$ para $C$ , para a direita ao longo da isotérmica inferior $T_1$ , depois verticalmente de $C$ para $B$ ao longo da isocórica $V_2$ . O caminho $\Gamma_2$ sobe primeiro verticalmente de $A$ para $D$ ao longo da isocórica $V_1$ , depois segue para a direita de $D$ para $B$ ao longo da isotérmica superior $T_2$ . As setas dos dois caminhos são, portanto,

\Gamma_1:A\xrightarrow{\,T=T_1\,}C\xrightarrow{\,V=V_2\,}B, \qquad \Gamma_2:A\xrightarrow{\,V=V_1\,}D\xrightarrow{\,T=T_2\,}B.

Os caminhos _1 e _2 no diagrama de Clapeyron. As curvas cinzentas prolongam as isotérmicas T_1 e T_2. — Figura 1. Os caminhos $\Gamma_1$ e $\Gamma_2$ no diagrama de Clapeyron. As curvas cinzentas prolongam as isotérmicas $T_1$ e $T_2$ .

Questão 2. Com a convenção do trabalho recebido pelo gás, $\delta W=-P\,\mathrm{d}V$ . Uma isocórica não contribui e, numa isotérmica à temperatura $T$ ,

W=-\int_{V_1}^{V_2}\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V =-nRT\ln\frac{V_2}{V_1}.

Obtém-se, portanto,

W_1=-nRT_1\ln\frac{V_2}{V_1}, \qquad W_2=-nRT_2\ln\frac{V_2}{V_1},

e depois

W_1-W_2 =nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}\neq 0.

Os estados inicial e final são idênticos, mas os trabalhos diferem: $\delta W$ não é uma diferencial exata.

Questão 3. As isocóricas não varrem nenhuma área. Como o trabalho recebido é o oposto da área sob a curva, a diferença $W_1-W_2$ é a área compreendida entre as isotérmicas $T_2$ e $T_1$ :

W_1-W_2 =\int_{V_1}^{V_2}\left(\frac{nRT_2}{V}-\frac{nRT_1}{V}\right)\mathrm{d}V =nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}>0.

Obtém-se novamente o resultado da questão 2.

Questão 4. A energia interna do gás ideal monoatómico depende apenas da temperatura. A sua variação é, portanto, a mesma nos dois caminhos:

\Delta U=U_B-U_A=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1).

O primeiro princípio, $\Delta U=W+Q$ , dá $Q=\Delta U-W$ , donde

\begin{aligned} Q_1&=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1) +nRT_1\ln\frac{V_2}{V_1},\\ Q_2&=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1) +nRT_2\ln\frac{V_2}{V_1}. \end{aligned}

Assim,

Q_2-Q_1=nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}\neq 0.

O calor trocado também depende do caminho: $\delta Q$ não é uma diferencial exata, contrariamente a $\mathrm{d}U$ .

Questão 5. Com $\ln 2\simeq0{,}693$ ,

\begin{aligned} W_1&\simeq-1{,}73\ \mathrm{kJ},& W_2&\simeq-3{,}46\ \mathrm{kJ},\\ \Delta U&\simeq3{,}74\ \mathrm{kJ},& Q_1&\simeq5{,}47\ \mathrm{kJ},& Q_2&\simeq7{,}20\ \mathrm{kJ}. \end{aligned}

O gás fornece duas vezes mais trabalho durante $\Gamma_2$ e recebe o calor adicional correspondente.