Exercício resolvido de termodinâmica

Exercício de curso: leis de Laplace

Exercício 18 · Lição 5 — Aplicação ao gás ideal

exercício de curso
lei de Laplace
índice adiabático
gama
expansão adiabática
primeiro princípio diferencial

Enunciado

Consideram-se $n$ moles de gás ideal com índice adiabático $γ = c_{P} / c_{V}$ suposto constante. O sistema é considerado fechado. Admite-se a relação de Mayer $c_{P} - c_{V} = R$ (ver o exercício sobre a descoberta de $c_{P}$ ).

Mostrar que $c_{V} = \frac{R}{γ - 1}, c_{P} = \frac{γ R}{γ - 1} .$
O gás sofre uma transformação adiabática quase-estática para a qual se supõe $P_{ext} = P$ . Partindo do primeiro princípio sob a forma diferencial, mostrar que $\frac{d T}{T} + (γ - 1) \frac{d V}{V} = 0,$ e em seguida deduzir que $T V^{γ - 1} = const.$ ao longo da transformação.
Deduzir as duas outras formas da lei de Laplace: $P V^{γ} = const.$ e $T^{γ} P^{1 - γ} = const.$ .
Considere uma expansão deste tipo que duplica o volume de um gás monoatómico ( $γ = 5/3$ ), com $n = 1$ mol, à temperatura inicial $T_{i} = 300$ K. Calcular $T_{f}$ , depois $Δ T$ e $W$ , e comentar os sinais de $Δ T$ e de $W$ .
No diagrama de Clapeyron $(P, V)$ , comparar, num mesmo ponto, o declive de uma adiabática deste tipo com o de uma isotérmica.

Dica

Para a questão 2:

d U = n c_{V} d T

δ W = - P d V

com

P = n R T / V

, depois separar as variáveis. Para a questão 5, diferenciar

P V^{γ} = const.

P V = const.

Solução detalhada

Solução

Questão 1. De

c_{P} = γ c_{V}

e de

c_{P} - c_{V} = R

, obtém-se

c_{V} (γ - 1) = R

, donde resultam as duas fórmulas. Questão 2. Adiabática:

δ Q = 0

, portanto

d U = δ W

, ou seja,

n c_{V} d T = - P d V = - \frac{n R T}{V} d V

. Com

c_{V} = R / (γ - 1)

\frac{d T}{T} = - (γ - 1) \frac{d V}{V} .

Integrando: $ln T + (γ - 1) ln V = const.$ , isto é, $T V^{γ - 1} = const.$ .

Questão 3. Substituindo

T = P V / (n R)

, obtém-se

P V^{γ} = const.

, uma vez que

n

é constante. Substituindo

V = n R T / P

, obtém-se

T (\frac{T}{P})^{γ - 1} = const.

e, portanto,

T^{γ} P^{1 - γ} = const.

. Questão 4. A forma mais simples consiste em utilizar a lei de Laplace

T V^{γ - 1} = const.

, que dá:

T_{i} V_{i}^{γ - 1} = T_{f} V_{f}^{γ - 1}

, ou seja,

T_{f} = T_{i} 2^{- (γ - 1)} = 300 \times 2^{- 2/3} \approx 189

K. É importante notar que se deve usar a temperatura em kelvins neste cálculo para não cometer erros! Deduz-se

Δ T = T_{f} - T_{i} \approx - 111

K. Para o trabalho, como

Q = 0

W = Δ U = \frac{3}{2} R Δ T \approx \frac{3}{2} \times 8, 314 \times (- 111) \approx - 1, 4 kJ .

$W < 0$ : o gás fornece trabalho ao exterior durante a expansão. Como não o pode retirar de nenhuma fonte de calor ( $Q = 0$ ), recorre à sua energia interna, daí o arrefecimento $Δ T < 0$ .

Questão 5. Diferenciando

P V = const.

(\frac{d P}{d V})_{isoT} = - \frac{P}{V}

. Diferenciando

P V^{γ} = const.

(\frac{d P}{d V})_{adiab} = - γ \frac{P}{V}

. A adiabática tem um declive

γ

vezes maior do que a isotérmica: comprimir sem evacuar o calor faz a pressão aumentar mais rapidamente, porque a temperatura também aumenta.