Exercício resolvido de termodinâmica

Exercício de curso: leis de Laplace

Exercício 10 · Lição 5 — Aplicação ao gás ideal

exercício de curso
lei de Laplace
índice adiabático
gama
expansão adiabática
primeiro princípio diferencial

Enunciado

Consideram-se $n$ moles de gás ideal com índice adiabático $\gamma = c_P/c_V$ suposto constante. O sistema é considerado fechado. Admite-se a relação de Mayer $c_P - c_V = R$ (ver o exercício sobre a descoberta de $c_P$ ).

Mostrar que $c_V = \frac{R}{\gamma - 1}, \qquad c_P = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}.$
O gás sofre uma transformação adiabática quase-estática para a qual se supõe $P_{\text{ext}} = P$ . Partindo do primeiro princípio sob a forma diferencial, mostrar que $\frac{\mathrm{d}T}{T} + (\gamma - 1)\frac{\mathrm{d}V}{V} = 0,$ e em seguida deduzir que $TV^{\gamma-1} = \text{const.}$ ao longo da transformação.
Deduzir as duas outras formas da lei de Laplace: $PV^\gamma = \text{const.}$ e $T^\gamma P^{1-\gamma} = \text{const.}$ .
Considere uma expansão deste tipo que duplica o volume de um gás monoatómico ( $\gamma = 5/3$ ), com $n = 1$ mol, à temperatura inicial $T_i = 300$ K. Calcular $T_f$ , depois $\Delta T$ e $W$ , e comentar os sinais de $\Delta T$ e de $W$ .
No diagrama de Clapeyron $(P,V)$ , comparar, num mesmo ponto, o declive de uma adiabática deste tipo com o de uma isotérmica.

Dica

Para a questão 2:

\mathrm{d}U = n c_V\,\mathrm{d}T

\delta W = -P\,\mathrm{d}V

com

P = nRT/V

, depois separar as variáveis. Para a questão 5, diferenciar

PV^\gamma = \text{const.}

PV = \text{const.}

Solução detalhada

Solução

Questão 1. De

c_P = \gamma c_V

e de

c_P - c_V = R

, obtém-se

c_V(\gamma - 1) = R

, donde resultam as duas fórmulas.

Questão 2. Adiabática: $\delta Q = 0$ , portanto $\mathrm{d}U = \delta W$ , ou seja, $n c_V\,\mathrm{d}T = -P\,\mathrm{d}V = -\dfrac{nRT}{V}\mathrm{d}V$ . Com $c_V = R/(\gamma-1)$ :

\frac{\mathrm{d}T}{T} = -(\gamma-1)\frac{\mathrm{d}V}{V}.

Integrando: $\ln T + (\gamma-1)\ln V = \text{const.}$ , isto é, $TV^{\gamma-1} = \text{const.}$ .

Questão 3. Substituindo $T = PV/(nR)$ , obtém-se $PV^\gamma = \text{const.}$ , uma vez que $n$ é constante. Substituindo $V = nRT/P$ , obtém-se $T \left(\frac{T}{P}\right)^{\gamma-1} = \text{const.}$ e, portanto, $T^\gamma P^{1-\gamma} = \text{const.}$ .

Questão 4. A forma mais simples consiste em utilizar a lei de Laplace $T V^{\gamma - 1} = \text{const.}$ , que dá: $T_i V_i^{\gamma - 1} = T_f V_f^{\gamma - 1}$ , ou seja, $T_f = T_i\,2^{-(\gamma-1)} = 300 \times 2^{-2/3} \approx 189$ K. É importante notar que se deve usar a temperatura em kelvins neste cálculo para não cometer erros! Deduz-se $\Delta T = T_f-T_i \approx -111$ K. Para o trabalho, como $Q = 0$ :

W = \Delta U = \tfrac{3}{2}R\Delta T \approx \tfrac{3}{2}\times 8{,}314 \times (-111) \approx -1{,}4\ \text{kJ}.

$W < 0$ : o gás fornece trabalho ao exterior durante a expansão. Como não o pode retirar de nenhuma fonte de calor ( $Q=0$ ), recorre à sua energia interna, daí o arrefecimento $\Delta T < 0$ .

Questão 5. Diferenciando $PV = \text{const.}$ : $\left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V}\right)_{\text{isoT}} = -\dfrac{P}{V}$ . Diferenciando $PV^\gamma = \text{const.}$ : $\left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V}\right)_{\text{adiab}} = -\gamma\dfrac{P}{V}$ . A adiabática tem um declive $\gamma$ vezes maior do que a isotérmica: comprimir sem evacuar o calor faz a pressão aumentar mais rapidamente, porque a temperatura também aumenta.