Enunciado

Consideram-se $n$ moles de gás ideal, com capacidade térmica molar $c_V$ constante, que descrevem o ciclo quase-estático $A\to B\to C\to A$ , com

A=(P_0,V_0), \qquad B=(2P_0,V_0), \qquad C=(P_0,2V_0).

O ramo $A\to B$ é isocórico, o ramo $B\to C$ é um segmento de reta no plano $(P,V)$ e o ramo $C\to A$ é isobárico.

Para um ciclo de potência, o rendimento é definido por

\eta=\frac{W_{\mathrm{fourni}}}{Q_{\mathrm{in}}} =\frac{-W_{\mathrm{cycle}}}{Q_{\mathrm{in}}},

onde $Q_{\mathrm{in}}$ é a soma das transferências elementares de calor $\delta Q>0$ recebidas pelo gás durante o ciclo.

Representar o ciclo no diagrama de Clapeyron e indicar o seu sentido de percurso. É um ciclo de potência ou de refrigeração?
Determinar a equação $P(V)$ da reta que liga $B$ a $C$ .
Definindo $T_0=P_0V_0/(nR)$ , determinar as temperaturas $T_A$ , $T_B$ e $T_C$ . Por que razão $\Delta U_{B\to C}$ é nula, embora este ramo não seja isotérmico?
Calcular o trabalho recebido em cada um dos três ramos e, em seguida, no ciclo completo. Determinar novamente o valor absoluto do trabalho total a partir da área do triângulo.
Calcular $\Delta U$ e $Q$ em cada ramo em função apenas de $P_0$ , $V_0$ e $c_V$ , e depois verificar que $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$ e $Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}$ .
Definindo $a = \frac{c_V}{R} >1$ e $x = V/V_0$ , mostrar que o sinal de $\delta Q$ muda num ponto do ramo $B\to C$ . Deduzir $Q_{\mathrm{in}}$ e, em seguida, o rendimento $\eta$ deste ciclo. Dar o seu valor para um gás ideal monoatómico, para o qual $c_V=\frac32R$ .

Dica

Em

B\to C

, procurar

P(V)=aV+b

impondo a passagem por

B

e

C

. Para calcular uma variação de energia interna, são necessárias apenas as temperaturas nas extremidades do ramo. Para a questão 6, utilizar o primeiro princípio sob a forma diferencial.

Solução detalhada

Solução

Questões 1—2. O ciclo é percorrido no sentido horário: é um ciclo de potência. A equação da reta

B\to C

é

P(V)=P_0\left(3-\frac{V}{V_0}\right).

O ciclo triangular A B C A no diagrama de Clapeyron. — Figura 1. O ciclo triangular $A\to B\to C\to A$ no diagrama de Clapeyron.

Questão 3. A equação de estado dá

T_A=T_0, \qquad T_B=T_C=2T_0.

A temperatura varia ao longo de $B\to C$ , mas retoma o mesmo valor nas duas extremidades. Como a energia interna de um gás ideal depende apenas da temperatura para uma quantidade de matéria fixa, $\Delta U_{B\to C}=0$ .

Questão 4. Os trabalhos recebidos são

W_{AB}=0, \qquad W_{BC}=-\int_{V_0}^{2V_0}P(V)\,dV=-\frac32P_0V_0, \qquad W_{CA}=-P_0 \Delta V = P_0V_0.

Assim,

\boxed{W_{\mathrm{cycle}}=-\frac12P_0V_0}.

O seu sinal é negativo: o gás fornece trabalho durante o ciclo. O seu valor absoluto é efetivamente a área do triângulo, de base $V_0$ e altura $P_0$ , segundo a fórmula $A=\frac12\text{base}\times\text{altura}$ para um triângulo retângulo.

Questão 5. Como $nRT_0=P_0V_0$ ,

\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{Ramo} & W & \Delta U & Q=\Delta U-W\\ \hline A\to B & 0 & \dfrac{c_V}{R}P_0V_0 & \dfrac{c_V}{R}P_0V_0\\[4pt] B\to C & -\dfrac32P_0V_0 & 0 & \dfrac32P_0V_0\\[4pt] C\to A & P_0V_0 & -\dfrac{c_V}{R}P_0V_0 & -\left(\dfrac{c_V}{R}+1\right)P_0V_0 \end{array} \end{aligned}

Somando os três ramos, obtém-se

\boxed{ \Delta U_{\mathrm{cycle}}=0, \qquad Q_{\mathrm{cycle}}=\frac12P_0V_0=-W_{\mathrm{cycle}}. }

Questão 6. Defina-se $a=c_V/R$ e $x=V/V_0$ . No ramo $B\to C$ , $P=P_0(3-x)$ e $T=T_0(3x-x^2)$ . O primeiro princípio dá

\delta Q=\mathrm{d}U-\delta W =P_0V_0\left[3(a+1)-(2a+1)x\right]\mathrm{d}x.

Este calor elementar anula-se para

x_\star=\frac{3(a+1)}{2a+1}.

Quando $a>1$ , tem-se $1<x_\star<2$ : o gás recebe calor de $B$ até ao ponto de abcissa $x_\star$ , e depois cede-o até $C$ . Recebe também o calor $Q_{AB}=aP_0V_0$ em $A\to B$ . Por conseguinte,

\begin{aligned} Q_{\mathrm{in}} &=P_0V_0\left[ a+\int_1^{x_\star}\left(3(a+1)-(2a+1)x\right)\mathrm{d}x \right]\\ &=P_0V_0\left[a+\frac{(a+2)^2}{2(2a+1)}\right]. \end{aligned}

O rendimento é, portanto,

\boxed{ \eta =\frac{\frac12P_0V_0}{Q_{\mathrm{in}}} =\frac{2a+1}{5a^2+6a+4}, \qquad a=\frac{c_V}{R}. }

Para um gás ideal monoatómico, $a=\frac32$ , donde

\eta=\frac{16}{97}\simeq16{,}5\,\%.