Exercício resolvido de termodinâmica

Ciclo triangular

Exercício 20 · Lição 5 — Aplicação ao gás ideal

ciclo de potência
diagrama de Clapeyron
área do ciclo
primeiro princípio
rendimento

Enunciado

Consideram-se $n$ moles de gás ideal, com capacidade térmica molar $c_{V}$ constante, que descrevem o ciclo quase-estático $A \to B \to C \to A$ , com

A = (P_{0}, V_{0}), B = (2 P_{0}, V_{0}), C = (P_{0}, 2 V_{0}) .

O ramo $A \to B$ é isocórico, o ramo $B \to C$ é um segmento de reta no plano $(P, V)$ e o ramo $C \to A$ é isobárico.

Para um ciclo de potência, o rendimento é definido por

η = \frac{W _{out}}{Q _{in}} = \frac{- W _{cycle}}{Q _{in}},

onde $Q_{in}$ é a soma das transferências elementares de calor $δ Q > 0$ recebidas pelo gás durante o ciclo.

Representar o ciclo no diagrama de Clapeyron e indicar o seu sentido de percurso. É um ciclo de potência ou de refrigeração?
Determinar a equação $P (V)$ da reta que liga $B$ a $C$ .
Definindo $T_{0} = P_{0} V_{0} / (n R)$ , determinar as temperaturas $T_{A}$ , $T_{B}$ e $T_{C}$ . Por que razão $Δ U_{B \to C}$ é nula, embora este ramo não seja isotérmico?
Calcular o trabalho recebido em cada um dos três ramos e, em seguida, no ciclo completo. Determinar novamente o valor absoluto do trabalho total a partir da área do triângulo.
Calcular $Δ U$ e $Q$ em cada ramo em função apenas de $P_{0}$ , $V_{0}$ e $c_{V}$ , e depois verificar que $Δ U_{cycle} = 0$ e $Q_{cycle} = - W_{cycle}$ .
Definindo $a = \frac{c _{V}}{R} > 1$ e $x = V / V_{0}$ , mostrar que o sinal de $δ Q$ muda num ponto do ramo $B \to C$ . Deduzir $Q_{in}$ e, em seguida, o rendimento $η$ deste ciclo. Dar o seu valor para um gás ideal monoatómico, para o qual $c_{V} = \frac{3}{2} R$ .

Dica

B \to C

, procurar

P (V) = aV + b

impondo a passagem por

B

C

. Para calcular uma variação de energia interna, são necessárias apenas as temperaturas nas extremidades do ramo. Para a questão 6, utilizar o primeiro princípio sob a forma diferencial.

Solução detalhada

Solução

Questões 1–2. O ciclo é percorrido no sentido horário: é um ciclo de potência. A equação da reta

B \to C

P (V) = P_{0} (3 - \frac{V}{V _{0}}) .

O ciclo triangular A B C A no diagrama de Clapeyron. — Figura 1. O ciclo triangular $A \to B \to C \to A$ no diagrama de Clapeyron.

Questão 3. A equação de estado dá

T_{A} = T_{0}, T_{B} = T_{C} = 2 T_{0} .

A temperatura varia ao longo de $B \to C$ , mas retoma o mesmo valor nas duas extremidades. Como a energia interna de um gás ideal depende apenas da temperatura para uma quantidade de matéria fixa, $Δ U_{B \to C} = 0$ .

Questão 4. Os trabalhos recebidos são

W_{A B} = 0, W_{B C} = - \int_{V_{0}}^{2 V_{0}} P (V) d V = - \frac{3}{2} P_{0} V_{0}, W_{C A} = - P_{0} Δ V = P_{0} V_{0} .

Assim,

W_{cycle} = - \frac{1}{2} P_{0} V_{0}

O seu sinal é negativo: o gás fornece trabalho durante o ciclo. O seu valor absoluto é efetivamente a área do triângulo, de base $V_{0}$ e altura $P_{0}$ , segundo a fórmula $A = \frac{1}{2} base \times altura$ para um triângulo retângulo.

Questão 5. Como

n R T_{0} = P_{0} V_{0}

Ramo A \to B B \to C C \to A W 0 - \frac{3}{2} P_{0} V_{0} P_{0} V_{0} Δ U \frac{c _{V}}{R} P_{0} V_{0} 0 - \frac{c _{V}}{R} P_{0} V_{0} Q = Δ U - W \frac{c _{V}}{R} P_{0} V_{0} \frac{3}{2} P_{0} V_{0} - (\frac{c _{V}}{R} + 1) P_{0} V_{0}

Somando os três ramos, obtém-se

Δ U_{cycle} = 0, Q_{cycle} = \frac{1}{2} P_{0} V_{0} = - W_{cycle}

Questão 6. Defina-se $a = c_{V} / R$ e $x = V / V_{0}$ . No ramo $B \to C$ , $P = P_{0} (3 - x)$ e $T = T_{0} (3 x - x^{2})$ . O primeiro princípio dá

δ Q = d U - δ W = P_{0} V_{0} [3 (a + 1) - (2 a + 1) x] d x .

Este calor elementar anula-se para

x_{⋆} = \frac{3 ( a + 1 )}{2 a + 1} .

Quando $a > 1$ , tem-se $1 < x_{⋆} < 2$ : o gás recebe calor de $B$ até ao ponto de abcissa $x_{⋆}$ , e depois cede-o até $C$ . Recebe também o calor $Q_{A B} = a P_{0} V_{0}$ em $A \to B$ . Por conseguinte,

Q_{in} = P_{0} V_{0} [a + \int_{1}^{x_{⋆}} (3 (a + 1) - (2 a + 1) x) d x] = P_{0} V_{0} [a + \frac{( a + 2 ) ^{2}}{2 ( 2 a + 1 )}] .

O rendimento é, portanto,

η = \frac{\frac{1}{2} P _{0} V _{0}}{Q _{in}} = \frac{2 a + 1}{5 a ^{2} + 6 a + 4}, a = \frac{c _{V}}{R}

Para um gás ideal monoatómico, $a = \frac{3}{2}$ , donde

η = \frac{16}{97} ≃ 16, 5 %.