Exercício resolvido de termodinâmica

Trabalho de uma transformação politrópica $P V^{k} = const.$

Exercício 22 · Lição 5 — Aplicação ao gás ideal

transformação politrópica
trabalho das forças de pressão
lei de Laplace

Enunciado

Considera-se uma transformação quase-estática de um gás ideal tal que $P V^{k} = const.$ , com $k \in R$ e $k \neq = 1$ .

Calcular $W_{A \to B}$ em função de $P_{A}, V_{A}, P_{B}, V_{B}$ e $k$ .
Determinar novamente o resultado para uma isobárica ( $k = 0$ ).
Quanto vale para uma isocórica (sem utilizar a fórmula anterior)?
O que acontece para $k = 1$ ? Determinar novamente $W = - n R T ln (V_{B} / V_{A})$ .

Dica

Definir

P (V) = C V^{- k}

com

C = P_{A} V_{A}^{k}

, integrar e, em seguida, utilizar

C V^{1 - k} = P V

Solução detalhada

Solução

Questão 1. A relação politrópica escreve-se

P V^{k} = C, P (V) = C V^{- k}, C = P_{A} V_{A}^{k} = P_{B} V_{B}^{k} .

O trabalho recebido pelo gás é, com a convenção do banqueiro,

W_{A \to B} = - \int_{V_{A}}^{V_{B}} P (V) d V = - C \int_{V_{A}}^{V_{B}} V^{- k} d V .

Para $k \neq = 1$ , uma primitiva de $V^{- k}$ é $V^{1 - k} / (1 - k)$ . Assim,

W_{A \to B} = - \frac{C}{1 - k} (V_{B}^{1 - k} - V_{A}^{1 - k}) = \frac{C V _{A}^{1 - k} - C V _{B}^{1 - k}}{1 - k} .

Ora,

C V_{A}^{1 - k} = P_{A} V_{A}, C V_{B}^{1 - k} = P_{B} V_{B} .

Finalmente,

W_{A \to B} = \frac{P _{A} V _{A} - P _{B} V _{B}}{1 - k} = \frac{P _{B} V _{B} - P _{A} V _{A}}{k - 1}

Questão 2. Para $k = 0$ , a relação $P V^{0} = C$ torna-se $P = C$ : a transformação é isobárica. Como $P_{A} = P_{B} = P$ ,

W_{A \to B} = P_{A} V_{A} - P_{B} V_{B} = P (V_{A} - V_{B}) = - P (V_{B} - V_{A}) = - P Δ V .

Obtém-se efetivamente a expressão direta do trabalho isobárico.

Questão 3. Para uma transformação isocórica,

V_{B} = V_{A}

d V = 0

em cada instante. Por conseguinte,

W_{A \to B} = - \int_{A}^{B} P d V = 0.

Uma isocórica não trivial não corresponde a nenhum valor finito de $k$ : se $V$ for constante, a relação $P V^{k} = const.$ imporia que $P$ também fosse constante. A isocórica pode ser vista apenas como um limite formal $k \to \infty$ .

Questão 4. Para

k = 1

, o integrando é proporcional a

1/ V

: a primitiva deixa de ser uma potência e passa a ser um logaritmo. É, portanto, necessário efetuar a integração separadamente. A relação politrópica torna-se

P V = C .

Para um gás ideal fechado, $P V = n R T$ ; a temperatura é, portanto, constante e $C = n R T$ . O trabalho recebido é então

W_{A \to B} = - \int_{V_{A}}^{V_{B}} \frac{n R T}{V} d V = - n R T ln (\frac{V _{B}}{V _{A}}) .

Para uma compressão, $V_{B} / V_{A} < 1$ , portanto o logaritmo é negativo e $W_{A \to B} > 0$ , como esperado.