Trabalho de uma transformação politrópica $PV^k=\text{const.}$

Questão 1. A relação politrópica escreve-se

$$PV^k=C, \qquad P(V)=CV^{-k}, \qquad C=P_AV_A^k=P_BV_B^k.$$

O trabalho recebido pelo gás é, com a convenção do banqueiro,

$$W_{A\to B} =-\int_{V_A}^{V_B}P(V)\,\mathrm{d}V =-C\int_{V_A}^{V_B}V^{-k}\,\mathrm{d}V.$$

Para $k\neq1$, uma primitiva de $V^{-k}$ é $V^{1-k}/(1-k)$. Assim,

$$W_{A\to B} =-\frac{C}{1-k} \left(V_B^{1-k}-V_A^{1-k}\right) =\frac{CV_A^{1-k}-CV_B^{1-k}}{1-k}.$$

Ora,

$$CV_A^{1-k}=P_AV_A, \qquad CV_B^{1-k}=P_BV_B.$$

Finalmente,

$$\boxed{ W_{A\to B} =\frac{P_AV_A-P_BV_B}{1-k} =\frac{P_BV_B-P_AV_A}{k-1} }.$$

Questão 2. Para $k=0$, a relação $PV^0=C$ torna-se $P=C$: a transformação é isobárica. Como $P_A=P_B=P$,

$$W_{A\to B} =P_AV_A-P_BV_B =P(V_A-V_B) =-P(V_B-V_A) =-P\Delta V.$$

Obtém-se efetivamente a expressão direta do trabalho isobárico.

Questão 3. Para uma transformação isocórica, $V_B=V_A$ e $\mathrm{d}V=0$ em cada instante. Por conseguinte,

$$W_{A\to B}=-\int_A^B P\,\mathrm{d}V=0.$$

Uma isocórica não trivial não corresponde a nenhum valor finito de $k$: se $V$ for constante, a relação $PV^k=\text{const.}$ imporia que $P$ também fosse constante. A isocórica pode ser vista apenas como um limite formal $k\to\infty$.

Questão 4. Para $k=1$, o integrando é proporcional a $1/V$: a primitiva deixa de ser uma potência e passa a ser um logaritmo. É, portanto, necessário efetuar a integração separadamente. A relação politrópica torna-se

$$PV=C.$$

Para um gás ideal fechado, $PV=nRT$; a temperatura é, portanto, constante e $C=nRT$. O trabalho recebido é então

$$W_{A\to B} =-\int_{V_A}^{V_B}\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V =-nRT\ln\!\left(\frac{V_B}{V_A}\right).$$

Para uma compressão, $V_B/V_A<1$, portanto o logaritmo é negativo e $W_{A\to B}>0$, como esperado.