Exercício resolvido de termodinâmica

Aquecimento a pressão constante: descoberta de $c_{P}$

Exercício 21 · Lição 5 — Aplicação ao gás ideal

capacidade térmica
pressão constante
relação de Mayer
aquecimento isobárico
gás ideal

Enunciado

Uma mole de gás ideal, com capacidade térmica molar $c_{V}$ , está encerrada num cilindro de volume inicial $V_{0}$ . O cilindro é fechado por um pistão móvel sem atrito e adiabático, sujeito a uma pressão exterior constante $P_{0}$ . Uma resistência elétrica interna ao gás fornece-lhe calor $Q > 0$ de forma quase-estática.

Fazer um esquema simples do dispositivo. Indicar o gás, o pistão, a resistência, a pressão exterior $P_{0}$ e as trocas de energia.
Sem utilizar valores numéricos, exprimir a temperatura inicial $T_{0}$ e, em seguida, determinar o estado final $(P_{f}, V_{f}, T_{f})$ , o trabalho $W$ recebido pelo gás e a sua variação de energia interna $Δ U$ .
Deduzir a capacidade térmica molar a pressão constante $c_{P} = (δ Q / d T)_{P}$ em função de $c_{V}$ e de $R$ .
Aplicação numérica para um gás ideal monoatómico: $c_{V} = \frac{3}{2} R$ , $V_{0} = 25 L$ , $P_{0} = 1, 0 \times 1 0^{5} Pa$ , $Q = 1000 J$ e $R = 8, 314 J mo l^{- 1} K^{- 1}$ .

Dica

A transformação é isobárica:

W = - P_{0} Δ V

. Para uma mole de gás ideal,

P_{0} Δ V = R Δ T

. Introduzir estas relações no primeiro princípio.

Solução detalhada

Solução

Questão 1. O esquema deve mostrar o gás num cilindro fechado por um pistão móvel. Uma seta no interior do cilindro representa o calor

Q

fornecido pela resistência. A pressão exterior

P_{0}

exerce-se sobre o pistão, que se desloca para cima quando o gás se expande. Questão 2. A equação de estado inicial dá

T_{0} = \frac{P _{0} V _{0}}{R} .

A pressão permanece constante, portanto $P_{f} = P_{0}$ . Além disso, $W = - P_{0} Δ V = - R Δ T$ . O primeiro princípio dá então

Δ U = c_{V} Δ T = Q + W = Q - R Δ T,

donde

Δ T = \frac{Q}{c _{V} + R} .

O estado final é, portanto,

P_{f} = P_{0}, T_{f} = T_{0} + \frac{Q}{c _{V} + R}, V_{f} = V_{0} + \frac{R Q}{P _{0} ( c _{V} + R )} .

Por fim,

W = - \frac{R Q}{c _{V} + R}, Δ U = \frac{c _{V} Q}{c _{V} + R} .

Questão 3. Como $Q = (c_{V} + R) Δ T$ a pressão constante,

c_{P} = c_{V} + R .

Esta é a relação de Mayer.

Questão 4. Para um gás monoatómico,

c_{P} = \frac{5}{2} R ≃ 20, 8 J mo l^{- 1} K^{- 1} .

Obtém-se

T_{0} ≃ 301 K, Δ T ≃ 48, 1 K, T_{f} ≃ 349 K, V_{f} = 29, 0 L .

Por fim,

W = - 400 J, Δ U = 600 J .