Exercício resolvido de termodinâmica

Aquecimento a pressão constante: descoberta de cPc_P

Exercício 13 · Lição 5 — Aplicação ao gás ideal

  • capacidade térmica
  • pressão constante
  • relação de Mayer
  • aquecimento isobárico
  • gás ideal

Enunciado

Uma mole de gás ideal, com capacidade térmica molar cVc_V, está encerrada num cilindro de volume inicial V0V_0. O cilindro é fechado por um pistão móvel sem atrito e adiabático, sujeito a uma pressão exterior constante P0P_0. Uma resistência elétrica interna ao gás fornece-lhe calor Q>0Q>0 de forma quase-estática.

  1. Fazer um esquema simples do dispositivo. Indicar o gás, o pistão, a resistência, a pressão exterior P0P_0 e as trocas de energia.
  2. Sem utilizar valores numéricos, exprimir a temperatura inicial T0T_0 e, em seguida, determinar o estado final (Pf,Vf,Tf)(P_f,V_f,T_f), o trabalho WW recebido pelo gás e a sua variação de energia interna ΔU\Delta U.
  3. Deduzir a capacidade térmica molar a pressão constante cP=(δQ/dT)Pc_P=(\delta Q/\mathrm{d}T)_P em função de cVc_V e de RR.
  4. Aplicação numérica para um gás ideal monoatómico: cV=32Rc_V=\frac32R, V0=25 LV_0=25\ \mathrm{L}, P0=1,0×105 PaP_0=1{,}0\times10^5\ \mathrm{Pa}, Q=1000 JQ=1000\ \mathrm{J} e R=8,314 J mol−1 K−1R=8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

Dica
A transformação é isobárica: W=−P0 ΔVW=-P_0\,\Delta V. Para uma mole de gás ideal, P0 ΔV=R ΔTP_0\,\Delta V=R\,\Delta T. Introduzir estas relações no primeiro princípio.

Solução detalhada

Solução
Questão 1. O esquema deve mostrar o gás num cilindro fechado por um pistão móvel. Uma seta no interior do cilindro representa o calor QQ fornecido pela resistência. A pressão exterior P0P_0 exerce-se sobre o pistão, que se desloca para cima quando o gás se expande.

Questão 2. A equação de estado inicial dá

T0=P0V0R.T_0=\frac{P_0V_0}{R}.

A pressão permanece constante, portanto Pf=P0P_f=P_0. Além disso, W=−P0ΔV=−RΔTW=-P_0\Delta V=-R\Delta T. O primeiro princípio dá então

ΔU=cVΔT=Q+W=Q−RΔT,\Delta U=c_V\Delta T=Q+W=Q-R\Delta T,

donde

ΔT=QcV+R.\Delta T=\frac{Q}{c_V+R}.

O estado final é, portanto,

Pf=P0,Tf=T0+QcV+R,Vf=V0+RQP0(cV+R).P_f=P_0,\qquad T_f=T_0+\frac{Q}{c_V+R},\qquad V_f=V_0+\frac{RQ}{P_0(c_V+R)}.

Por fim,

W=−RQcV+R,ΔU=cVQcV+R.W=-\frac{RQ}{c_V+R}, \qquad \Delta U=\frac{c_VQ}{c_V+R}.

Questão 3. Como Q=(cV+R)ΔTQ=(c_V+R)\Delta T a pressão constante,

cP=cV+R.c_P=c_V+R.

Esta é a relação de Mayer.

Questão 4. Para um gás monoatómico,

cP=52R≃20,8 J mol−1 K−1.c_P=\frac52R\simeq20{,}8\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

Obtém-se

T0≃301 K,ΔT≃48,1 K,Tf≃349 K,Vf=29,0 L.T_0\simeq301\ \mathrm{K},\qquad \Delta T\simeq48{,}1\ \mathrm{K},\qquad T_f\simeq349\ \mathrm{K},\qquad V_f=29{,}0\ \mathrm{L}.

Por fim,

W=−400 J,ΔU=600 J.W=-400\ \mathrm{J},\qquad \Delta U=600\ \mathrm{J}.