Enunciado

Consideram-se $n$ moles de gás ideal monoatómico, com $U=\frac{3}{2}nRT$ , que percorrem quase estaticamente o ciclo retangular no sentido anti-horário

A(P_1,V_1)\to B(P_1,V_2)\to C(P_2,V_2) \to D(P_2,V_1)\to A,

onde $V_2>V_1$ e $P_2>P_1$ . Designa-se

\Delta P=P_2-P_1>0, \qquad \Delta V=V_2-V_1>0.

Este ciclo de refrigeração é utilizado como modelo de máquina frigorífica. O seu coeficiente de desempenho frigorífico (COP) é definido por

\mathrm{COP}=\frac{Q_f}{W_{\mathrm{in}}} =\frac{Q_f}{W_{\mathrm{cycle}}},

onde $Q_f>0$ é o calor total retirado pelo gás nos ramos em que recebe calor, e $W_{\mathrm{cycle}}>0$ o trabalho líquido que recebe.

Representar o ciclo no diagrama de Clapeyron $(P,V)$ e indicar a natureza de cada ramo.
Calcular o trabalho recebido em cada um dos quatro ramos em função de $\Delta V$ quando esta varia e, em seguida, o trabalho total em função de $\Delta P$ e $\Delta V$ . Determinar novamente o seu valor a partir da área do retângulo.
Exprimir $\Delta U$ e $Q$ em cada ramo em função de $P_1$ , $P_2$ , $V_1$ , $V_2$ , $\Delta P$ e $\Delta V$ , utilizando $\Delta P$ nas isocóricas e $\Delta V$ nas isobáricas.
Verificar que $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$ e $Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}$ . O ciclo é de potência ou de refrigeração? Em que ramos o gás recebe calor e em quais o cede? Interpretar estas trocas identificando as fontes frias e as fontes quentes: o que é arrefecido neste caso?
Deduzir o COP frigorífico do ciclo em função de $P_1$ , $P_2$ , $V_1$ e $V_2$ .
Interpretar fisicamente o COP. Por que razão pode ser superior a 1, contrariamente ao rendimento de uma máquina térmica?
Aplicação numérica: $P_1=1{,}0$ bar, $P_2=3{,}0$ bar, $V_1=5{,}0$ L e $V_2=15{,}0$ L. Dar $W$ e $Q$ em cada ramo e, em seguida, os respetivos balanços no ciclo e o COP.

Dica

Numa isocórica,

nR\,\Delta T=V\,\Delta P

e o trabalho é nulo. Numa isobárica,

nR\,\Delta T=P\,\Delta V

e

W=-P\Delta V

. Qualquer função de estado retoma o seu valor inicial no fim de um ciclo.

Solução detalhada

Solução

Questão 1. Os pontos

A

,

B

,

C

e

D

encontram-se, respetivamente, em baixo à esquerda, em baixo à direita, em cima à direita e em cima à esquerda. Os ramos

A\to B

e

C\to D

são isobáricos;

B\to C

e

D\to A

são isocóricos. O percurso

A\to B\to C\to D\to A

é efetuado no sentido anti-horário.

Figura 1. O ciclo retangular de isobáricas—isocóricas no diagrama de Clapeyron.

Questão 2. O trabalho recebido pelo gás é

W=-\int P_{\mathrm{ext}}\,\mathrm dV.

É nulo nas isocóricas $B\to C$ e $D\to A$ . Nas duas isobáricas,

W_{AB}=-P_1(V_2-V_1)=-P_1\Delta V, \qquad W_{CD}=-P_2(V_1-V_2)=P_2\Delta V.

Assim,

\boxed{W_{\mathrm{cycle}} =(-P_1+P_2)\Delta V =\Delta P\,\Delta V>0}.

Este valor é efetivamente a área do retângulo no diagrama de Clapeyron.

Questão 3. Para o gás ideal monoatómico,

\Delta U=nc_V\Delta T=\frac32nR\Delta T.

Numa isobárica, a equação de estado dá $nR\Delta T=P\Delta V_{\mathrm{branche}}$ . Por conseguinte,

\Delta U_{AB}=\frac32P_1\Delta V, \qquad \Delta U_{CD}=-\frac32P_2\Delta V.

Numa isocórica, dá $nR\Delta T=V\Delta P_{\mathrm{branche}}$ , donde

\Delta U_{BC}=\frac32V_2\Delta P, \qquad \Delta U_{DA}=-\frac32V_1\Delta P.

Por fim, o primeiro princípio $\Delta U=Q+W$ , ou seja, $Q=\Delta U-W$ , conduz à tabela recapitulativa:

\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{Ramo} & W & \Delta U & Q=\Delta U-W\\ \hline A\to B & -P_1\Delta V & \frac32P_1\Delta V & \frac52P_1\Delta V\\[2pt] B\to C & 0 & \frac32V_2\Delta P & \frac32V_2\Delta P\\[2pt] C\to D & P_2\Delta V & -\frac32P_2\Delta V & -\frac52P_2\Delta V\\[2pt] D\to A & 0 & -\frac32V_1\Delta P & -\frac32V_1\Delta P \end{array} \end{aligned}

Questão 4. A soma das variações da energia interna é nula. O primeiro princípio impõe, portanto,

Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}=-\Delta P\,\Delta V<0.

Globalmente, o gás recebe trabalho: o ciclo é de refrigeração. Recebe calor em $A\to B$ e $B\to C$ . Nestes dois ramos, retira calor às fontes frias com as quais é colocado em contacto: são, portanto, estas fontes exteriores (por exemplo, o compartimento e os alimentos de um frigorífico), e não o próprio gás cíclico, que são arrefecidas.

Em $C\to D$ e $D\to A$ , pelo contrário, o gás cede calor às fontes quentes, por exemplo, ao ar da divisão. Designando por $Q_{\mathrm{chaud}}>0$ o calor total recebido por estas fontes,

Q_{\mathrm{chaud}} =-(Q_{CD}+Q_{DA}) =\frac52P_2\Delta V+\frac32V_1\Delta P.

Assim, o ciclo transfere calor das fontes frias para as fontes quentes graças ao trabalho que recebe.

Questão 5. O calor retirado pelo gás é

Q_f =Q_{AB}+Q_{BC} =\frac52P_1\Delta V+\frac32V_2\Delta P.

Deduz-se

\boxed{ \mathrm{COP} =\frac{\frac52P_1\Delta V+\frac32V_2\Delta P} {\Delta P\,\Delta V}. }

Questão 6. O COP mede o ganho frigorífico obtido relativamente ao trabalho investido: um COP igual a $k$ significa que cada joule de trabalho fornecido permite retirar $k$ joules de calor às fontes frias.

Contrariamente ao rendimento de uma máquina térmica, o COP não é a fração de uma energia recebida que é convertida em trabalho. O gás recebe simultaneamente o trabalho $W_{\mathrm{in}}$ e o calor $Q_f$ retirado às fontes frias e, em seguida, rejeita a soma de ambos para as fontes quentes:

\boxed{Q_{\mathrm{chaud}}=Q_f+W_{\mathrm{in}}}.

Não existe, portanto, nenhuma razão para que $Q_f$ seja inferior a $W_{\mathrm{in}}$ , e o COP pode perfeitamente ser superior a 1 sem contrariar a conservação da energia.

Questão 7. Neste caso, $\Delta P=2{,}0\times10^5$ Pa e $\Delta V=1{,}0\times10^{-2}$ m $^3$ :

\begin{aligned} \begin{array}{c|r|r|r} \text{Ramo} & W\ (\mathrm J) & \Delta U\ (\mathrm J) & Q\ (\mathrm J)\\ \hline A\to B & -1000 & 1500 & 2500\\ B\to C & 0 & 4500 & 4500\\ C\to D & 3000 & -4500 & -7500\\ D\to A & 0 & -1500 & -1500 \end{array} \end{aligned}

Assim, $W_{\mathrm{cycle}}=+2000$ J, $Q_{\mathrm{cycle}}=-2000$ J e $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$ . O calor retirado vale

Q_f=2500+4500=7000\ \mathrm{J},

enquanto o calor cedido às fontes quentes vale

Q_{\mathrm{chaud}}=7500+1500=9000\ \mathrm{J} =Q_f+W_{\mathrm{cycle}}.

O coeficiente de desempenho frigorífico é, portanto,

\mathrm{COP}=\frac{7000}{2000}=3{,}5.