Exercício resolvido de termodinâmica

Ciclo de refrigeração retangular?

Exercício 23 · Lição 5 — Aplicação ao gás ideal

ciclo termodinâmico
ciclo retangular
diagrama de Clapeyron
trabalho
calor
área
gás ideal
ciclo de refrigeração
máquina frigorífica

Enunciado

Consideram-se $n$ moles de gás ideal monoatómico, com $U = \frac{3}{2} n R T$ , que percorrem quase estaticamente o ciclo retangular no sentido anti-horário

A (P_{1}, V_{1}) \to B (P_{1}, V_{2}) \to C (P_{2}, V_{2}) \to D (P_{2}, V_{1}) \to A,

onde $V_{2} > V_{1}$ e $P_{2} > P_{1}$ . Designa-se

Δ P = P_{2} - P_{1} > 0, Δ V = V_{2} - V_{1} > 0.

Representar o ciclo no diagrama de Clapeyron $(P, V)$ e indicar a natureza de cada ramo.
Calcular o trabalho recebido em cada um dos quatro ramos em função de $Δ V$ quando esta varia e, em seguida, o trabalho total em função de $Δ P$ e $Δ V$ . Determinar novamente o seu valor a partir da área do retângulo.
Exprimir $Δ U$ e $Q$ em cada ramo em função de $P_{1}$ , $P_{2}$ , $V_{1}$ , $V_{2}$ , $Δ P$ e $Δ V$ , utilizando $Δ P$ nas isocóricas e $Δ V$ nas isobáricas.
Verificar que $Δ U_{cycle} = 0$ e $Q_{cycle} = - W_{cycle}$ . O ciclo é motor ou recetor, isto é, produz ou recebe trabalho líquido? Em que ramos o gás recebe calor e em quais o cede? Mostrar que o calor total cedido pelo gás, $Q_{out} > 0$ , é igual ao calor total que recebe, $Q_{in} > 0$ , acrescido do trabalho recebido $W_{cycle}$ .
Exprimir as temperaturas $T_{A}$ , $T_{B}$ , $T_{C}$ e $T_{D}$ dos quatro vértices. Qual é a mais baixa e qual é a mais alta? Como varia a temperatura do gás ao longo de cada ramo? Entre que temperaturas recebe o gás calor, e entre que temperaturas o cede?
Pretende-se usar este ciclo como frigorífico: retirar calor de um compartimento frio e rejeitá-lo para o ar mais quente da sala. Para que um corpo receba calor, a fonte com que está em contacto tem de estar mais quente do que ele. Que temperaturas devem ter as fontes que fornecem calor ao gás e as que dele recebem calor? Pode este ciclo funcionar como frigorífico?
Aplicação numérica: $P_{1} = 1, 0$ bar, $P_{2} = 3, 0$ bar, $V_{1} = 5, 0$ L e $V_{2} = 15, 0$ L. Calcular $W$ e $Q$ em cada ramo e, em seguida, $W_{cycle}$ , $Q_{in}$ e $Q_{out}$ . Calcular por fim as razões $T_{B} / T_{A}$ , $T_{C} / T_{A}$ e $T_{D} / T_{A}$ , e concluir.

Dica

Numa isocórica,

n R Δ T = V Δ P

e o trabalho é nulo. Numa isobárica,

n R Δ T = P Δ V

W = - P Δ V

. Qualquer função de estado retoma o seu valor inicial no fim de um ciclo.

Solução detalhada

Solução

Questão 1. Os pontos

A

B

C

D

encontram-se, respetivamente, em baixo à esquerda, em baixo à direita, em cima à direita e em cima à esquerda. Os ramos

A \to B

C \to D

são isobáricos;

B \to C

D \to A

são isocóricos. O percurso

A \to B \to C \to D \to A

é efetuado no sentido anti-horário.

Figura 1. O ciclo retangular de isobáricas–isocóricas no diagrama de Clapeyron.

Questão 2. O trabalho recebido pelo gás é

W = - \int P_{ext} d V .

É nulo nas isocóricas $B \to C$ e $D \to A$ . Nas duas isobáricas,

W_{A B} = - P_{1} (V_{2} - V_{1}) = - P_{1} Δ V, W_{C D} = - P_{2} (V_{1} - V_{2}) = P_{2} Δ V .

Assim,

W_{cycle} = (- P_{1} + P_{2}) Δ V = Δ P Δ V > 0

Este valor é efetivamente a área do retângulo no diagrama de Clapeyron.

Questão 3. Para o gás ideal monoatómico,

Δ U = n c_{V} Δ T = \frac{3}{2} n R Δ T .

Numa isobárica, a equação de estado dá $n R Δ T = P Δ V_{branch}$ . Por conseguinte,

Δ U_{A B} = \frac{3}{2} P_{1} Δ V, Δ U_{C D} = - \frac{3}{2} P_{2} Δ V .

Numa isocórica, dá $n R Δ T = V Δ P_{branch}$ , donde

Δ U_{B C} = \frac{3}{2} V_{2} Δ P, Δ U_{D A} = - \frac{3}{2} V_{1} Δ P .

Por fim, o primeiro princípio $Δ U = Q + W$ , ou seja, $Q = Δ U - W$ , conduz à tabela recapitulativa:

Ramo A \to B B \to C C \to D D \to A W - P_{1} Δ V 0 P_{2} Δ V 0 Δ U \frac{3}{2} P_{1} Δ V \frac{3}{2} V_{2} Δ P - \frac{3}{2} P_{2} Δ V - \frac{3}{2} V_{1} Δ P Q = Δ U - W \frac{5}{2} P_{1} Δ V \frac{3}{2} V_{2} Δ P - \frac{5}{2} P_{2} Δ V - \frac{3}{2} V_{1} Δ P

Questão 4. A soma das variações de energia interna é nula, como para qualquer função de estado ao longo de um ciclo. O primeiro princípio impõe, portanto,

Q_{cycle} = - W_{cycle} = - Δ P Δ V < 0.

O gás recebe globalmente trabalho: o ciclo é recetor. De acordo com a tabela, recebe calor em $A \to B$ e $B \to C$ e cede-o em $C \to D$ e $D \to A$ :

Q_{in} = Q_{A B} + Q_{B C} = \frac{5}{2} P_{1} Δ V + \frac{3}{2} V_{2} Δ P, Q_{out} = - (Q_{C D} + Q_{D A}) = \frac{5}{2} P_{2} Δ V + \frac{3}{2} V_{1} Δ P .

Subtraindo, com $P_{2} - P_{1} = Δ P$ e $V_{2} - V_{1} = Δ V$ ,

Q_{out} - Q_{in} = \frac{5}{2} Δ P Δ V - \frac{3}{2} Δ P Δ V = Δ P Δ V = W_{cycle},

donde

Q_{out} = Q_{in} + W_{cycle}

Ao longo de um ciclo, o gás rejeita sob a forma de calor toda a energia que recebeu, calor e trabalho incluídos.

Questão 5. A equação de estado dá

T = P V / (n R)

em cada vértice:

T_{A} = \frac{P _{1} V _{1}}{n R}, T_{B} = \frac{P _{1} V _{2}}{n R}, T_{C} = \frac{P _{2} V _{2}}{n R}, T_{D} = \frac{P _{2} V _{1}}{n R} .

Como $P_{1} < P_{2}$ e $V_{1} < V_{2}$ , o produto $P V$ é mínimo em $A$ e máximo em $C$ : $T_{A}$ é a temperatura mais baixa do ciclo, $T_{C}$ a mais alta, e $T_{B}$ e $T_{D}$ são intermédias.

Na isobárica

A \to B

V

aumenta a pressão constante, pelo que

T

cresce de

T_{A}

para

T_{B}

. Na isocórica

B \to C

P

aumenta a volume constante, pelo que

T

cresce de

T_{B}

para

T_{C}

. Do mesmo modo,

T

diminui de

T_{C}

para

T_{D}

C \to D

e depois de

T_{D}

para

T_{A}

D \to A

. O gás recebe, portanto, calor enquanto a sua temperatura sobe do valor mais baixo

T_{A}

até ao mais alto

T_{C}

, e cede calor enquanto ela desce de novo de

T_{C}

para

T_{A}

. Questão 6. Para receber calor, o gás tem de estar em contacto com fontes pelo menos tão quentes como ele; no limite quase-estático, a temperatura destas acompanha a do gás. As fontes que fornecem calor ao gás têm, portanto, temperaturas que vão de

T_{A}

até

T_{C}

, a temperatura mais alta do ciclo. Inversamente, as fontes que recebem o seu calor têm temperaturas que vão de

T_{C}

até

T_{A}

, a mais baixa do ciclo. Não há, pois, um lado frio e um lado quente separados: o gás retira calor a fontes muito quentes e cede calor a fontes muito frias. Este ciclo não pode servir de frigorífico, que deve retirar calor às temperaturas mais baixas e rejeitá-lo às mais altas. Recebe trabalho e devolve-o integralmente sob a forma de calor (

Q_{cycle} = - W_{cycle}

), redistribuindo calor entre fontes a temperaturas diversas. Um frigorífico deve, pelo contrário, absorver calor nas partes mais frias do seu ciclo e rejeitá-lo nas mais quentes. É o caso do ciclo de Carnot percorrido em sentido inverso, estudado na Lição 6: o gás recebe calor ao longo da isotérmica fria e cede-o ao longo da isotérmica quente. Não basta, portanto, que um ciclo seja recetor para que seja frigorífico. Questão 7. Neste caso,

Δ P = 2, 0 \times 1 0^{5}

Pa e

Δ V = 1, 0 \times 1 0^{- 2}

^{3}

Ramo A \to B B \to C C \to D D \to A W (J) - 1000 030000 Δ U (J) 15004500 - 4500 - 1500 Q (J) 25004500 - 7500 - 1500

Assim, $W_{cycle} = + 2000 J$ , $Q_{cycle} = - 2000 J$ e $Δ U_{cycle} = 0$ . O calor recebido vale $Q_{in} = 2500 + 4500 = 7000 J$ e o calor cedido $Q_{out} = 7500 + 1500 = 9000 J = Q_{in} + W_{cycle}$ . As razões de temperaturas não dependem de $n$ :

\frac{T _{B}}{T _{A}} = \frac{V _{2}}{V _{1}} = 3, \frac{T _{C}}{T _{A}} = \frac{P _{2} V _{2}}{P _{1} V _{1}} = 9, \frac{T _{D}}{T _{A}} = \frac{P _{2}}{P _{1}} = 3.

Se a temperatura mais baixa do ciclo fosse a de um compartimento frio, por exemplo $T_{A} = 270 K$ , o gás teria de receber calor de fontes até $T_{C} = 9 T_{A} ≃ 2400 K$ . Um tal ciclo, evidentemente, não arrefece o compartimento.