Exercício resolvido de termodinâmica

Esticar um fio elástico

Exercício 12 · Lição 4 — O primeiro princípio da termodinâmica

trabalho generalizado
fio elástico
tração
primeiro princípio

Enunciado

Um fio de comprimento natural $L_{0}$ é esticado lentamente, sem histerese, de $L_{A}$ até $L_{B}$ , com $L_{0} \leq L_{A} < L_{B}$ . No domínio estudado, a sua tensão de equilíbrio segue a lei

F = K (L - L_{0}),

em que $K > 0$ é uma rigidez constante, independente da temperatura. A força de tração exterior equilibra a tensão do fio em cada etapa. Adota-se o modelo de energia interna

U (T, L) = C (T - T_{⋆}) + \frac{1}{2} K (L - L_{0})^{2} + U_{⋆},

em que $C$ é uma capacidade térmica total constante e $T_{⋆}, U_{⋆}$ são referências fixas. As variações de energia cinética e de energia potencial gravítica são desprezáveis.

Desenhar o fio, o seu ponto fixo, a extremidade móvel e a força de tração exterior. Escrever o trabalho elementar recebido para uma variação $d L$ e, depois, calcular $W_{A \to B}$ .
O alongamento é isotérmico. Calcular $Δ U$ e o calor $Q_{A \to B}$ recebido neste modelo. Uma transformação isotérmica impõe, em geral, $Δ U = 0$ ?
Traz-se o fio de $L_{B}$ de volta a $L_{A}$ seguindo a mesma lei de tração. Calcular o trabalho recebido neste regresso e no percurso de ida e volta. Porque é que este resultado não significa que todo o trabalho seja uma função de estado?

Dica

Utilizar

δ W = F_{ext} d L

e integrar a força variável. Comparar depois com a diferença de energia interna dada pelo modelo, usando

Δ U = Q + W

Solução detalhada

Solução

Questão 1. No esquema, a extremidade esquerda está fixa. A extremidade direita está sujeita a uma tração dirigida para a direita; o seu deslocamento é

d L

. O trabalho recebido pelo fio é positivo quando este se alonga:

δ W = F_{ext} d L = K (L - L_{0}) d L .

A força não é constante. É, portanto, necessário calcular

W_{A \to B} = \int_{L_{A}}^{L_{B}} K (L - L_{0}) d L = [\frac{K}{2} (L - L_{0})^{2}]_{L_{A}}^{L_{B}} = \frac{K}{2} [(L_{B} - L_{0})^{2} - (L_{A} - L_{0})^{2}] > 0.

A rigidez tem por unidade $N m^{- 1}$ : $K (L - L_{0})^{2}$ exprime-se, portanto, em $N m$ , isto é, em joules.

Questão 2. Como

T_{B} = T_{A}

, o termo térmico não varia. As constantes de referência também se cancelam, donde

Δ U = C (T_{B} - T_{A}) + \frac{K}{2} [(L_{B} - L_{0})^{2} - (L_{A} - L_{0})^{2}] = W_{A \to B} .

O primeiro princípio dá então $Q_{A \to B} = Δ U - W_{A \to B} = 0$ . Neste modelo ideal, o trabalho recebido fica armazenado sob a forma de energia elástica. A temperatura mantém-se constante, mas a energia interna aumenta: a isotermia não impõe, portanto, $Δ U = 0$ . O resultado $Q = 0$ depende aqui do modelo adotado e não se estende a todos os materiais.

Questão 3. Trocar os limites de integração muda o sinal do integral:

W_{B \to A} = \int_{L_{B}}^{L_{A}} K (L - L_{0}) d L = [\frac{K}{2} (L - L_{0})^{2}]_{L_{B}}^{L_{A}} = - W_{A \to B} .

O trabalho recebido no percurso de ida e volta é, portanto, nulo. O fio devolve o trabalho armazenado. Aqui, a lei imposta torna o trabalho igual à variação da energia elástica, que é função de $L$ . Trata-se de uma propriedade deste modelo sem histerese e desta família de transformações, não de uma propriedade geral das transferências de trabalho.